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\def\rmfcornisa{EDUCATION \hfill\rmf\ E {\bf 64} (2018) 87--91 \hfill JANUARY--JUNE 2018}
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\def\rmfcintilla{{\it Rev.\ Mex.\ Fis.\/ E}  {\bf 64} (2018) 87--91}
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\markboth{Y. Bonder y E. Okon}
{Los principios de la relatividad: una introducci\'on pedag\'ogica}
\begin{document}
\title{Los principios de la relatividad: una introducci\'on pedag\'ogica
\vspace{-6pt}}
\author{Y. Bonder}
\address{Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Aut\'onoma de M\'exico, \\
Circuito Exterior s/n, Col.\ UNAM,
Ciudad de M\'exico, 04510, M\'exico.
\\
e-mail: bonder@nucleares.unam.mx}
\author{E. Okon}
\address{Instituto de Investigaciones Filos\'oficas,  Universidad Nacional Aut\'onoma de M\'exico,\\
Circuito Maestro Mario de la Cueva s/n, Col.\ UNAM
Ciudad de M\'exico, 04510, M\'exico.
\\
e-mail: eokon@filosoficas.unam.mx}
\maketitle
\recibido{4 August 2017}{8 November 2017
\vspace{-12pt}}
\begin{resumen}
Se presentan los principios que dan sustento a la teor\'ia de la relatividad, tanto especial como general. Se usa un lenguaje accesible y pedag\'ogico y se discuten, a partir de ejemplos f\'isicos, la motivaci\'on y algunas de las consecuencias de cada principio. Adem\'as, se mencionan algunos roles que tienen tales principios en la b\'usqueda de una teor\'ia cu\'antica de la gravedad.
\end{resumen}
\descript{ Relatividad especial; relatividad general; principio de equivalencia. \vspace{0pt}}
\begin{abstract}
The principles underlying the theory of relativity, special and general, are presented. An easy to follow and pedagogical language is used and, based on physical examples, the motivation and some consequences of such principles are discussed. In addition, some roles of these principles when looking for a quantum gravity theory are mentioned.
\end{abstract}
\keys{ Special relativity; general relativity; 
equivalence principle. \vspace{-8pt}}
\pacs{01.40.gb; 03.30.+p; 04.20.-q \vspace{-4pt}}
\begin{multicols}{2}




\section{Introducci\'on}


\noindent
La relatividad general es la teor\'ia m\'as aceptada para describir la gravitaci\'on. Para su formulaci\'on, fue necesario romper con varias ideas que son fundamentales en la f\'isica pre-relativista (usualmente llamada f\'isica Newtoniana). En esta contribuci\'on se presentan los principales principios que fundamentan a la teor\'ia. Cabe recalcar que no hay consenso sobre cu\'ales son estos principios, ni sobre la forma de enunciar aquellos que discutiremos. Nuestro objetivo es enunciar dichos principios de forma que la idea general sea f\'acil de comprender por lectores que no sean especialistas en el tema. Buscamos elaborar una introducci\'on did\'actica y amena a la base fundacional de la teor\'ia de la relatividad.

Existen, por supuesto, un gran n\'umero de introducciones pedag\'ogicas a la teor\'ia de la relatividad, entre las que destacan cl\'asicos como [1-7]. Sin embargo, la presente exposici\'on se distingue de \'estas en varios sentidos. Por un lado, la nuestra es una presentaci\'on muy concisa y est\'a enfocada en los principios que rigen la teor\'ia, con especial hincapi\'e en las bases conceptuales que dan fundamento a dichos principios. Es com\'un encontrar introducciones did\'acticas al tema, pero es menos habitual encontrar en ellas discusiones cuidadosas sobre asuntos fundamentales. Por otro lado, en el presente texto se discuten algunos problemas que surgen al considerar la uni\'on entre la teor\'ia de la relatividad y la mec\'anica cu\'antica y se describe una interesante avenida para buscar pistas sobre la teor\'ia que resuelva dichos problemas. Adicionalmente, tocamos brevemente conceptos avanzados, como torsi\'on espacio-temporal, y mencionamos ciertas restricciones que se imponen a las soluciones de la relatividad general, como ser globalmente hiperb\'olico o satisfacer condiciones de energ\'ia, que no suelen ser abordados en introducciones similares. Por ultimo, cabe mencionar que el presente articulo est\'a en espa\~nol, por lo cual puede ser de inter\'es para lectores que no tienen acceso a otras introducciones al tema.

\section{Relatividad especial}


\noindent
Inicialmente, a la teor\'ia de Einstein se le conoci\'o simplemente como teor\'ia de la relatividad. Actualmente se distingue entre relatividad especial y general; la diferencia es que la primera no considera la interacci\'on gravitacional. En esta secci\'on se discuten los principios de la relatividad especial.

En la f\'isica, un marco de referencia es un est\'andar con respecto al cual se describe el movimiento de los cuerpos. En el siglo XVII, gracias al trabajo de f\'isicos como Galileo y Newton, se not\'o que existen ciertos marcos de referencia especiales, a los que se les llam\'o marcos inerciales. \'Estos son los marcos de referencia en los que es posible distinguir movimientos acelerados de movimientos uniformes, y s\'olo en ellos son v\'alidas las leyes de Newton. Por ejemplo, si alguien viaja en un coche con velocidad constante y sin cambiar de direcci\'on, estar\'a en una situaci\'on en la que las leyes de Newton se cumplen y puede, por ejemplo, aventar y cachar una pelota como si estuviera fuera del coche. Sin embargo, si el coche cambia su velocidad o direcci\'on mientras la pelota est\'a en el aire (por ejemplo, si el coche frena s\'ubitamente), para la persona que la est\'a aventando, la pelota se va a mover como si una fuerza actuara sobre ella. En realidad no hay nuevas fuerzas actuando sobre la pelota, lo que sucede es que, cuando el coche deja de viajar con velocidad y direcci\'on constante, la persona deja de estar en un marco inercial (se est\'a suponiendo que los efectos debidos a la rotaci\'on de la Tierra pueden despreciarse). La importancia de los marcos inerciales queda establecida en el \textit{principio de relatividad} que sostiene
\begin{center}
Experimentos id\'enticos realizados en distintos marcos inerciales dan resultados id\'enticos.
\end{center}
Es importante recalcar que este principio se refiere a cualquier experimento y a todos los marcos inerciales.

A finales del siglo XIX los f\'isicos enfrentaban una crisis porque la teor\'ia electromagn\'etica, que acababa de ser completada, parec\'ia no cumplir con el principio de relatividad. Adem\'as, con esta teor\'ia se hab\'ia establecido que la luz es una onda electromagn\'etica cuya velocidad es de casi $300,000$ kil\'ometros por segundo, pero no estaba claro respecto a qu\'e marco de referencia se tiene dicha velocidad. Asimismo, se cre\'ia que, como toda onda, la luz se propagaba sobre un medio, al que se le llam\'o el \'eter. Por ello, se propuso que el valor obtenido para la velocidad de la luz es respecto al marco de referencia asociado con el \'eter. Entonces, es natural pensar que, para otro marco de referencia, que, por ejemplo, podr\'ia estar sobre la superficie de la Tierra, la luz deb\'ia tener una velocidad distinta. Esa diferencia de velocidad se intent\'o medir en el famoso experimento de Michelson y Morley realizado a finales del siglo XIX [8]. Lo sorprendente es que no se encontr\'o el efecto esperado. Por el contrario, parec\'ia que la velocidad de la luz era la misma sin importar la velocidad del marco de referencia en el que se mida. 

Esta crisis fue resuelta por Einstein en 1905 al postular lo que ahora conocemos como la teor\'ia especial de la relatividad [9]. La propuesta principal de Einstein es que el principio de relatividad tambi\'en es v\'alido en la teor\'ia electromagn\'etica. Sin embargo, la relaci\'on entre marcos inerciales debe modificarse y debe abandonarse la idea de que existe una noci\'on de tiempo universal (es decir, que si dos eventos son simult\'aneos en un marco de referencia, lo ser\'an para cualquier otro). De esta forma es posible asumir que la luz se propaga sin la necesidad de un medio y que, adem\'as, lo hace de acuerdo con el principio de la \textit{constancia de la velocidad de la luz}, que dice
\begin{center}
En el vac\'io, la luz se propaga con la misma velocidad en todos los marcos inerciales, sin importar la velocidad relativa entre ellos, ni la velocidad de la fuente que emite la luz.
\end{center}
Este principio explica el resultado del experimento de Michelson y Morley, pero conlleva consecuencias f\'isicas que van en contra de la intuici\'on cotidiana.

Una consecuencia inmediata de la constancia de la velocidad de la luz es que, si, por ejemplo, alguien viaja a la mitad de la velocidad de la luz respecto a una fuente de luz, seguir\'a midiendo que la luz emitida por esta fuente viaja exactamente a la velocidad de la luz, y no a una velocidad distinta, como podr\'ia esperarse. Adem\'as, es posible darse cuenta que este principio afecta la noci\'on de simultaneidad. Para ello, se puede considerar una situaci\'on que involucra una nave espacial que viaja por el espacio vac\'io con sus propulsores apagados. Justo al centro de la nave, hay un astronauta que dispara simult\'aneamente dos haces de luz en direcciones opuestas. Claramente, \'el ver\'a que estos impactan la pared al mismo tiempo. Sin embargo, este no ser\'a el caso en un marco inercial que se mueve con una cierta velocidad en direcci\'on de uno de los haces porque, debido al principio anterior, ambos haces viajan a la misma velocidad, pero uno de los haces debe viajar una distancia menor que el otro para llegar a la pared. La conclusi\'on es que es necesario abandonar la idea de que la simultaneidad es absoluta: si dos eventos ocurren al mismo tiempo en alg\'un marco inercial, no son necesariamente simult\'aneos en otro marco inercial.

Por medio de ejemplos similares se puede deducir que la longitud de los objetos y la duraci\'on entre eventos tambi\'en dependen del estado de movimiento del marco inercial en que se miden. De hecho, lo que en un marco inercial es una distancia en el espacio o una duraci\'on temporal, para otro se combinan de forma parecida a como el largo, ancho y la altura de un objeto se mezclan cuando se cambia la orientaci\'on de quien lo mira. Siguiendo con esta analog\'ia, as\'i como el espacio suele considerarse un s\'olo ente y no algo formado por las direcciones asociadas con el largo, ancho y alto del objeto, conviene pensar en t\'erminos de un ente unificado que incluye al espacio y al tiempo y que se le conoce como el espacio-tiempo.

Tal vez la consecuencia de la relatividad especial m\'as conocida es la famosa f\'ormula $E=mc^2$, donde $E$ representa energ\'ia, $m$ masa, y $c$ es la velocidad de la luz (que aparece elevada al cuadrado). El significado de esta f\'ormula es que la masa tambi\'en es una forma de energ\'ia, lo que ayuda a entender por qu\'e se puede obtener energ\'ia en algunas reacciones at\'omicas. Para finalizar esta secci\'on, vale la pena mencionar que, cuando las velocidades relativas son mucho menores que la velocidad de la luz, los efectos novedosos de la relatividad especial son extremadamente peque\~nos, por lo que son imperceptibles en la vida cotidiana. 

\section{Relatividad general}


\noindent
Como se mencion\'o arriba, la relatividad general incluye a la interacci\'on gravitacional. Pero, ?`por qu\'e fue necesario buscar una teor\'ia de la gravedad que remplace a la de Newton? Resulta que, en la teor\'ia de Newton, la gravedad es una fuerza que depende de la distancia instant\'anea entre dos objetos con masa. Pero, ?`la distancia para qu\'e observador?, ?`con qu\'e noci\'on de simultaneidad? Claramente la fuerza gravitacional de Newton no va de acuerdo con los principios de la relatividad especial. Por tal motivo, Einstein se dio a la tarea de buscar una nueva teor\'ia de la gravitaci\'on que sea compatible con la relatividad especial, lo que le tom\'o alrededor de diez a\~nos~[10]. La relatividad general es una teor\'ia de la gravedad que es plenamente compatible con la relatividad especial, pero adem\'as, es una de las teor\'ias f\'isicas m\'as elegantes e innovadoras y ha sido verificada experimentalmente en repetidas ocasiones [11]. Para formular la relatividad general, Einstein se bas\'o en algunos principios, mismos que se revisan a continuaci\'on.

\subsection{Principio de equivalencia}


\noindent
La idea clave que le permiti\'o a Einstein formular la relatividad general, y que en alg\'un momento llam\'o el pensamiento m\'as feliz de su vida [12], es que, en ca\'ida libre, la gravedad desaparece. Para entender esta idea es \'util pensar en un astronauta que se encuentra en la superficie de un planeta donde pr\'acticamente no hay atm\'osfera. Si el astronauta se deja caer de un acantilado y, mientras cae, suelta un pedazo de papel, va a notar que, para \'el, el papel se queda donde lo solt\'o. Es decir, para el astronauta parece no haber gravedad, pues si soltara un objeto cuando s\'i siente gravedad, el objeto caer\'ia. Por su puesto, si alguien ve al astronauta desde el fondo del acantilado, ver\'a que tanto \'el como el papel est\'an cayendo (y, si el astronauta tiene suerte, esta persona preparar\'a algo para amortiguar su ca\'ida). Esta idea est\'a incorporada en el llamado \textit{principio de equivalencia}:
\begin{center}
 Observadores en ca\'ida libre en presencia de gravedad y observadores inerciales en regiones sin gravedad obtienen los mismos resultados al realizar cualquier experimento suficientemente peque\~no.
\end{center}

?`Qu\'e quiere decir que un experimento sea suficientemente peque\~no? ?`Por qu\'e se necesita dicha condici\'on? Para entender esto es \'util regresar al experimento del astronauta en el planeta sin atm\'osfera. Resulta que la magnitud y direcci\'on de los efectos de la gravedad dependen de la posici\'on del objeto. Por ello, el pedazo de papel que cae junto al astronauta puede ser atra\'ido en otra direcci\'on que el astronauta, y la distancia entre ellos puede cambiar durante la ca\'ida. Sin embargo, este efecto es peque\~no cuando la distancia que separa a los objetos que caen tambi\'en es peque\~na. Por ello, el principio de equivalencia s\'olo es v\'alido localmente y la noci\'on de ``suficientemente peque\~no'' est\'a determinada, en cada experimento, por el tama\~no del cambio en la gravedad dentro de la regi\'on donde se realiza el experimento.

Otra consecuencia del principio de equivalencia es que la gravedad act\'ua de igual manera sobre todos los objetos, sin importar su masa o estructura interna, lo que ha sido verificado experimentalmente con gran precisi\'on [13]. Adem\'as, de acuerdo con el principio de equivalencia, siempre es posible hacer desaparecer los efectos de la gravedad, y en tales situaciones debe seguir siendo v\'alida la relatividad especial. Estas consecuencias pueden describirse si se asume que la geometr\'ia del espacio (o m\'as bien, del espacio-tiempo) no es plana, como lo sugiere nuestra intuici\'on, sino que est\'a deformada. El t\'ermino preciso para referirse a tales deformaciones es el de \textit{curvatura}, que refleja el hecho de que las l\'ineas rectas que son paralelas en alg\'un instante, s\'i pueden cruzarse. Para entender los efectos de la curvatura puede recurrirse a la Tierra: la Tierra es esf\'erica, pero si \'unicamente se tiene acceso a una peque\~na porci\'on de la superficie de la Tierra, es dif\'icil notar los efectos de su curvatura y es posible asumir que el pedazo de la Tierra al que se tiene acceso es pr\'acticamente plano. Adem\'as, los meridianos, que son l\'ineas rectas con la propiedad de ser paralelas en el Ecuador, se terminan cruzando en los polos. Lo importante es que, en la descripci\'on geom\'etrica de la gravedad, todos los objetos que se encuentran en una regi\'on del espacio-tiempo son afectados de la misma forma y, para regiones espacio-temporales suficientemente peque\~nas, siempre es posible despreciar los efectos de su curvatura.

Este cambio en la descripci\'on de la gravedad tiene consecuencias profundas. Por ejemplo, en la relatividad general la gravedad no es una fuerza sino el efecto de moverse en una geometr\'ia con curvatura. En particular, la Tierra no orbita al Sol por estar sujeta a una fuerza, sino, m\'as bien, sigue su \'orbita porque es el camino m\'as recto que hay en la geometr\'ia curvada del espacio-tiempo. M\'as a\'un, la gravedad, al ser un efecto de la geometr\'ia del espacio-tiempo, debe afectar a todos los objetos que est\'an en el espacio-tiempo, incluyendo a la luz (cosa que no sucede en la teor\'ia de Newton). Esto motiv\'o a Einstein a proponer una observaci\'on que fue la primer confirmaci\'on experimental de la relatividad general: la luz de las estrellas debe desviarse al pasar cerca del Sol. Para buscar este efecto hay que observar a las estrellas que est\'an detr\'as del Sol pero, para eso, es necesario tapar al Sol, lo que ocurre de forma natural durante un eclipse solar. Justamente en un eclipse solar que ocurri\'o en 1919 se not\'o que la posici\'on aparente de tales estrellas estaba corrida de manera consistente con las predicciones de la relatividad general [14]. Otra consecuencia interesante de que la luz sea afectada por la gravedad es la existencia de agujeros negros, que son regiones donde la curvatura del espacio-tiempo no deja que nada escape, ni siquiera la luz. Estos objetos son una predicci\'on de la relatividad general, y su existencia se sustenta con varias observaciones [15], incluyendo las recientes detecciones de ondas gravitacionales [16-18].

\subsection{Ecuaciones de Einstein}


\noindent
Hasta ahora se ha argumentado que, de acuerdo con la relatividad general, la gravedad es el efecto de la curvatura del espacio-tiempo. Sin embargo, no se ha dicho c\'omo se genera tal curvatura. Est\'a claro que la Tierra orbita en torno al Sol gracias a que el Sol es un objeto muy grande, por lo que es de esperarse que las concentraciones grandes de materia generen la curvatura del espacio-tiempo. La ecuaci\'on concreta que vincula a la materia con la geometr\'ia del espacio-tiempo es la \textit{ecuaci\'on de Einstein}, misma que no se presenta expl\'icitamente en esta contribuci\'on. Dicha ecuaci\'on debe tomarse como otro de los postulados de la teor\'ia y es tal que la relatividad general, en situaciones adecuadas, se parece a la teor\'ia de Newton, que describe bien los fen\'omenos gravitacionales a las escalas del sistema solar y menores.

Un resultado interesante que se obtiene de las ecuaciones de Einstein es que las part\'iculas libres y peque\~nas (es decir, aquellas que pueden pensarse como un punto y cuya contribuci\'on a la curvatura del espacio-tiempo es tan peque\~na que puede despreciarse) siguen unas trayectorias especiales en el espacio-tiempo. Dichas trayectorias son llamadas geod\'esicas y pueden pensarse como las curvas m\'as rectas que hay. Vale la pena recalcar que el hecho de que las part\'iculas libres y peque\~nas sigan geod\'esicas no es un principio de la teor\'ia [19] sino un resultado que puede derivarse. 

\subsection{Otros principios} % 3.3


\noindent
Adicionalmente a los principios descritos hasta ahora, para que la relatividad general est\'e completamente definida es necesario asumir otros principios que tienen un car\'acter m\'as t\'ecnico. En particular, se requiere que la geometr\'ia del espacio-tiempo tenga la propiedad de que cualquier paralelogramo suficientemente peque\~no ``cierre''. Es decir, que al recorrer una curva formada por cuatro segmentos geod\'esicos donde el primero y el tercero son paralelos, as\'i como el segundo y el cuarto, se regrese al punto inicial. A esta hip\'otesis se le conoce como el postulado de \textit{torsi\'on espacio-temporal nula} y, desgraciadamente, no ha podido ser probada experimentalmente [20].

Hay otros requisitos que se suelen imponer para que un espacio-tiempo sea f\'isicamente factible. Un ejemplo son las llamadas \textit{condiciones de energ\'ia}. \'Estas son condiciones sobre la materia y lo que se est\'a suponiendo, de manera burda, es que no existe materia con masa negativa [21]. Sin embargo, por el v\'inculo entre materia y geometr\'ia del espacio-tiempo, estas condiciones limitan el tipo de espacio-tiempos que se consideran admisibles. Asimismo, se suele pedir que el espacio-tiempo sea \textit{globalmente hiperb\'olico}, es decir, que sea posible, a partir de la informaci\'on dada en un instante de tiempo, calcular la evoluci\'on temporal del espacio-tiempo y la materia que lo habita [22]. Esta condici\'on permite excluir espacio-tiempos donde aparecen situaciones parad\'ojicas como aquellos en los que, al viajar hacia el futuro, se termina en el pasado. Una de tales situaciones es la llamada paradoja del abuelo, donde alguien, por estar en un espacio-tiempo as\'i, mata a su abuelo antes de que \'este fecunde a su padre. 

Para terminar esta secci\'on es importante mencionar que el llamado \textit{principio de Mach}, que influenci\'o a Einstein cuando estaba desarrollando la relatividad general, no est\'a plenamente incorporado en la relatividad general (recientemente han habido propuestas de teor\'ias que lo incorporan mejor [23]). Este principio postula:
\begin{center}
La distribuci\'on de materia en el universo es la que determina qu\'e marcos son inerciales.
\end{center}
Por ejemplo, si alguien va cayendo por el espacio vac\'io, debido al principio de relatividad, no puede determinar su velocidad, pero s\'i puede hacer un experimento para saber si est\'a rotando: vierte un poco de agua en una cubeta y ve si la superficie de la cubeta se torna convexa. Pero, ?`respecto a qu\'e es que esta persona rota? La respuesta, seg\'un Mach, es que rota con respecto al resto de la masa del universo. Este tipo de ideas motiv\'o a Einstein a proponer que las cosas lejanas afectan la geometr\'ia del espacio-tiempo. Sin embargo, en la relatividad general no todos los efectos gravitacionales pueden explicarse en t\'erminos de movimiento relativo, como Mach buscaba.

\section{Hacia una nueva teor\'ia}

\noindent
La relatividad general ha hecho predicciones asombrosas, muchas de las cuales han sido comprobadas en experimentos. Por ello, parecer\'ia que es una teor\'ia f\'isica adecuada. Sin embargo, dicha teor\'ia no toma en cuenta que la materia, la cual juega un papel crucial, s\'olo se sabe describir consistentemente con la mec\'anica cu\'antica. M\'as a\'un, la mec\'anica cu\'antica predice situaciones donde, por ejemplo, las part\'iculas no tienen una posici\'on bien definida. El problema es que se desconoce c\'omo debe responder la geometr\'ia del espacio-tiempo ante tales situaciones. Esto sugiere que debe haber una nueva teor\'ia de la gravitaci\'on, compatible con la mec\'anica cu\'antica, que es a\'un desconocida. La construcci\'on de esta nueva teor\'ia, gen\'ericamente llamada teor\'ia de gravedad cu\'antica, es uno de los retos m\'as grandes en la f\'isica contempor\'anea. Si bien existen varias propuestas concretas que buscan construir una teor\'ia de gravedad cu\'antica, como la teor\'ia de cuerdas o la gravedad cu\'antica de lazos [24], varias preguntas centrales contin\'uan abiertas. Un camino prometedor para buscar pistas que ayuden a su construcci\'on es poner a prueba los principios de la relatividad general.

La forma m\'as directa de probar los principios de la relatividad general es por medio de experimentos. Para hacerlo de manera sistem\'atica es \'util contar con un lenguaje matem\'atico donde se incluyan los efectos de violar cierto principio. El principio m\'as estudiado en esta direcci\'on es el de relatividad (tambi\'en llamado principio de invariancia local de Lorentz). En este sentido se ha desarrollado la llamada Extensi\'on al Modelo Est\'andar [25-27] donde se incluyen modificaciones a la f\'isica establecida que no respetan dicho principio. Dicho modelo ha generado una gran cantidad de nuevos experimentos, con los que, a la fecha, no se ha encontrado evidencia de que tal principio se viole. Pero gracias a los esfuerzos por poner a prueba este principio sabemos cualitativamente hasta qu\'e grado es v\'alido dicho principio [28]. Adem\'as, la Extensi\'on al Modelo Est\'andar permite probar si la teor\'ia que resulta al dejar de suponer el principio de relatividad es consistente [29,30], lo que a su vez ayuda a comprender mejor el rol que juega dicho principio en la formulaci\'on de la relatividad general.

Por otra parte, tambi\'en es interesante estudiar si los principios de la relatividad pueden formularse consistentemente en el marco de la mec\'anica cu\'antica, o si es posible reformularlos para que sean compatibles con dicho marco. En esta direcci\'on resaltan los esfuerzos por estudiar el principio de equivalencia [31]. Tomando en cuenta las lecciones que se han aprendido al estudiar la validez y compatibilidad con la mec\'anica cu\'antica de este y otros principios, parece prometedor realizar estudios similares donde se pongan a prueba otros de los principios que sustentan a la relatividad general, como el de torsi\'on espacio-temporal nula o la suposici\'on de que la ecuaci\'on que vincula a la geometr\'ia del espacio-tiempo con la materia es la ecuaci\'on de Einstein.

\section{Conclusiones}

\noindent 
La relatividad general es la teor\'ia del espacio, el tiempo y la gravedad, y rompe con algunos de los paradigmas de la f\'isica Newtoniana. Para su construcci\'on fue crucial postular los principios que se presentan en esta contribuci\'on y tomarse en serio las consecuencias que de ellos se desprenden. Sin embargo, la relatividad general es incompatible con la mec\'anica cu\'antica, por lo que debe haber una teor\'ia de la gravitaci\'on a\'un m\'as fundamental. Poner a prueba los principios de la relatividad es, sin duda, un camino interesante para buscar evidencia de la estructura de una nueva teor\'ia de la gravedad; al hacerlo se puede aprender mucho de dichos principios, pero adem\'as, existe la posibilidad de encontrar f\'isica nueva.


\end{multicols}
\medline
\begin{multicols}{2}
\begin{thebibliography}{99}
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\end{document}
%
%Notas:
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%\tabletopline\vspace{2pt}\lilahf{\sc Table I.\ {\rm Table caption}}
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