%Numero de paginas en dvi = 19
\documentclass[spanish]{rmf-e}
\usepackage{nopageno,rmfbib,multicol,times,epsf,amsmath,amssymb,cite}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage[]{caption2}
\usepackage{graphics}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{cancel}
%
%numero{2}
%
\spanishdecimal{.}
\def\rmfcornisa{EDUCATION \hfill\rmf\  E {\bf 64} (2018) 108--126 
\hfill JULY--DECEMBER 2018}
\newcommand{\ssc}{\scriptscriptstyle}
%
\newcommand{\Lie}{\ensuremath{\pounds}} % Derivada de lie
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} % Reales
\newcommand{\dbar}{\,{\mathchar'26\mkern-12mud}\,} % Derviada normal
%
\newcommand{\nt}{\notag \\  & \times}
\newcommand{\na}{\notag \\  & }
\newcommand{\no}{\notag \\}
%
\def\rmfcintilla{{\it Rev.\ Mex.\ Fis.\/ E}  {\bf 64} (2018) 108--126}
\clearpage \rmfcaptionstyle \pagestyle{myheadings}
\setcounter{page}{108}
\markboth{T. Miramontes y D. Sudarsky }
{El formalismo 3+1 en relatividad general  y la  descomposici\'on   tensorial  completa}
\begin{document}
\title{El formalismo 3+1 en relatividad general  y la  descomposici\'on   tensorial  completa
\vspace{-6pt}}
\author{T. Miramontes$^*$ y D. Sudarsky }
\address{Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Aut\'onoma de M\'exico,
\\
Apartado Postal 70-543, Ciudad Universitaria, 04511 M\'exico, D.F., M\'exico.
\\ *e-mail: tonatiuh.miramontes@correo.nucleares.unam.mx}% tonatiuhmiramontes@comunidad.unam.mx
\maketitle
\recibido{29 August 2017}{14 December 2017
\vspace{-12pt}}
\begin{resumen}
Se presenta una breve revisi\'on del formalismo $3+1$ en Relatividad General, y se introducen  algunas  novedosas convenciones as\'i como elementos de notaci\'on que permiten facilitar el tratamiento de las expresiones de todas  las proyecciones tensoriales involucradas en este formalismo. Tambi\'en se obtienen expresiones $3+1$ \'utiles para la manipulaci\'on de \'indices (contracci\'on, simetrizaci\'on, antisimetrizaci\'on), productos tensoriales y derivaci\'on covariante de tensores arbitrarios.
\end{resumen}
\descript{ Relatividad general; formalismo en relatividad general; geometr\'ia de subvariedades. \vspace{0pt}}
\begin{abstract}
A brief review of $3+1$ formalism in General Relativity is presented, introducing innovative conventions and notation elements which make it easier to deal with all of the tensorial projections involved in this formalism. Also, useful $3+1$ expressions for manipulation of indexes (contraction, symmetrization, anti-symmetrization), tensorial producs and the covariant derivative of arbitrary tensors are obtained.
\end{abstract}
\keys{ General relativity; formalism in general relativity; geometry of submanifolds. \vspace{-8pt}}
\pacs{04.20.-q;\ 02.40.-k \vspace{-4pt}}
\begin{multicols}{2}





\section{Introducci\'on}


\noindent 
La \textit{separaci\'on} o \textit{formalismo} $3+1$ es la descripci\'on de un espaciotiempo cuadridimensional $(\mathcal{M},g_{ab})$, en t\'erminos de una foliaci\'on dada por hipersuperficies tridimensionales tipo espacio, de modo que la m\'etrica inducida sobre \'estas sea Riemanniana \cite{3p1Gourgoulhon}. Esta separaci\'on es el punto de partida de la formulaci\'on hamiltoniana de la Relatividad General de Arnowitt, Deser y Misner \cite{ADM60}, \cite{ADM62}, as\'i como de la Relatividad Num\'erica. 

Aunque en la literatura existen referencias m\'as detalladas y extensas sobre este formalismo, como \cite{3p1Gourgoulhon} y \cite{AlcubierreNumerical} por citar algunas, en este trabajo se enfatiza su utilidad como herramienta anal\'itica, obteniendo las expresiones $3+1$ m\'as generales para operaciones como productos, trazas y derivadas de tensores arbitrarios. Con este fin, se introduce una notaci\'on especial para las proyecciones tensoriales, que permite sistematizar la manipulaci\'on de las expresiones t\'ipicamente engorrosas que aparecen en esta separaci\'on. Por lo dem\'as, la notaci\'on y convenciones son consistentes con Wald \cite{WaldGR}, en particular la m\'etrica del espaciotiempo $g_{ab}$ con signatura $(-,+,+,+)$, y el signo de la curvatura extr\'inseca.



\section{Nociones generales}\label{defs}


\noindent 
La idea intuitiva detr\'as de la descripci\'on $3+1$ es la de \textit{interpretar} el espaciotiempo como un  objeto  3  dimensional  que \textit{evoluciona} de acuerdo con una noci\'on particular de tiempo  global. Al separar un espaciotiempo cuadridimensional tomando el tiempo como par\'ametro, se busca que el objeto que evolucione sea la m\'etrica Riemanniana que define la \textit{distancia} sobre una subvariedad tridimensional apropiada.




 De manera mas  precisa, se tratar\'a \'unicamente con espaciotimepos globalmente hiperb\'olicos, que son  aquellos que se pueden  foliar por hipesuperficies de Cauchy $\Sigma_t$. Esto quiere decir que se cuenta con una familia de hipersuperficies homeomorfas entre s\'i, parametrizadas por una funci\'on  tiempo  global $t$, y \'estas cubren toda la variedad $\mathcal{M}$.  A su vez \'esto implica que la topolog\'ia de la variedad es la de $\Sigma \times \R$. Es claro que   un mismo espaciotiempo se  puede foliar de m\'utiples  maneras   y   que en particular la  funci\'on   tiempo  global no es \'unica.  Esta  libertad   de elegir la  foliacion  esta  asociada  \'intimamente con la noci\'on de invarianica de norma  de la teor\'ia.  
 
 
 
 En el presente tratamiento se supondr\'a que la foliaci\'on y la funci\'on tiempo est\'an dadas \textit{a priori}, y se limitar\'a a espaciotiempos globalmente hiperb\'olicos, para los cuales es posible tener una buena formulaci\'on de valores iniciales, que en pocas palabras$^i$, se refiere a que el espaciotiempo est\'a determinado un\'ivocamente por los datos sobre una hipersuperficie de Cauchy, que son el equivalente relativista de datos a un \textit{tiempo inicial}.

La m\'etrica del espaciotiempo $g_{ab}$ determina el tama\~no de vectores, y para el caso de vectores tangentes a curvas definidas sobre hipersuperficies de Cauchy $\Sigma_t$, \'esta es una cantidad positiva. Esta noci\'on de longitud   determina   entonces   una m\'etrica Riemanniana sobre cada  $\Sigma_t$.

Para completar el punto de vista din\'amico para el espaciotiempo, es necesario definir una noci\'on apropiada  de evoluci\'on, es decir, establecer una manera de identificar no s\'olo puntos en una hipersuperficie de la foliaci\'on con puntos en otra hipersuperficie de la misma foliaci\'on, sino una manera de comparar campos tensoriales 
entre ambos puntos de la variedad.


El procedimiento general para hacer esto es el siguiente: dado un difeomorfismo $\phi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M}$, es posible \textit{transportar} tensores de un punto a otro, a trav\'es de los mapeos denominados \textit{push-forward} $\phi_*:\mathcal{T}_{p}\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{T}_{\phi(p)} \mathcal{M}$ y \textit{pullback} $\phi^*:\mathcal{T}_{\phi(p)}^*\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{T}_p^* \mathcal{M}$, lo cual permite comparar el valor de un campo tensorial en un punto con su valor en otro punto cercano. A continuaci\'on, se define el \textit{cambio} de estos objetos sobre el flujo de $\phi$ como la derivada de Lie de ese objeto. En el Ap\'endice \ref{ApendiceLie} se detallan los aspectos formales de esta construcci\'on.

En el caso particular en cuesti\'on, se desea que el flujo de $\phi$ represente una forma espec\'ifica de avanzar en el tiempo dado por la funci\'on global $t$. Para ello se considera el hecho de que un campo vectorial suave $t^a$ que no se anula en ning\'un punto del espaciotiempo permite definir, a trav\'es de sus curvas integrales, un grupo uniparam\'etrico de difeomorfismos $\phi_\tau : \R \times \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M}$ del siguiente modo: para cada valor $\tau$ del par\'ametro de las curvas integrales de $t^a$, se asigna a cada punto $p\in \mathcal{M}$, el punto dado por la curva integral del campo $t^a$ que pasa por $p$, $\gamma_p : \R \rightarrow \mathcal{M}$, evaluada en el par\'ametro $\tau$, es decir, $\phi_\tau (p) = \gamma_p(\tau)$. El par\'ametro de la curva se toma de modo que $\gamma_p (0)= p$. 


Para que el par\'ametro de las curvas $\gamma_p(\tau)$ coincida con $t$ (salvo una constante correspondiente a la elecci\'on del origen), basta con que el campo $t^a$ sea de tipo tiempo y que cumpla con la relaci\'on
\begin{equation}
t^a \nabla_a t = 1. \label{tdt}
\end{equation}

Luego, para todo $p\in\mathcal{M}$,
\begin{equation}
t(\gamma_p(\tau))= t(p) + \tau.
\end{equation}

Por lo tanto, el grupo uniparam\'etrico de difeomorfismos $\phi_\tau$ generado por el campo $t^a$ permite definir mapeos que \textit{transportan} campos tensoriales sobre una hipersuperficie $\Sigma_t$ a otra hipersuperficie $\Sigma_{t+\tau}$. Con esto, se provee de una noci\'on de evoluci\'on a la descripci\'on $3+1$.

Es importante destacar que:
\begin{itemize}
	\item El campo vectorial $t^a$ no es necesariamente unitario, por lo que el par\'ametro $\tau$ no puede interpretarse en general como el \textit{tiempo propio} medido por un observador.
	\item No se impone ninguna condici\'on de ortogonalidad del campo $t^a$ respecto a las hipersuperficies de $t$ constante.
	\item La condici\'on \eqref{tdt} no determina al campo $t^a$, lo cual es un hecho \'intimamente relacionado con la libertad de norma de la teor\'ia.
\end{itemize}

Respecto a este \'ultimo punto, n\'otese que lo \'unico que la condici\'on \eqref{tdt} requiere es que existan coordenadas que tomen el valor de $t$ en cada punto como coordenada \textit{tiempo}, y que la base del espacio tangente en cada punto inducida por dichas coordenadas tenga a $t^a$ como el dual a $(dt)_a$. Es decir, la libertad en la elecci\'on de $t^a$ se identifica con la libertad para escoger coordenadas que cumplan estas condiciones. 

En este trabajo se adoptar\'a el denominado \textit{punto de vista cuadridimensional} \cite{3p1Gourgoulhon}, en el que los campos tensoriales del formalismo siempre son \textit{cuadridimensionales} y est\'an definidos sobre $\mathcal{M}$. Alternativamente, en su lugar se podr\'ian considerar \textit{versiones tridimensionales} de estos campos tensoriales, parametrizados por $t$, y que estar\'ian definidos sobre cada subvariedad $\Sigma_t\subset\mathcal{M}$. 

El \textit{punto de vista tridimensional} requiere definir mapeos de proyecci\'on o encajes entre $\mathcal{M}$ y una hipersuperficie tridimensional $\hat{\Sigma}$, lo cual no es esencial para presentar el formalismo $3+1$. A los lectores interesados en esta perspectiva se les invita a revisar el Ap\'endice \ref{Persp3D} donde se elabora esta conexi\'on, en la que adem\'as se pone de manifiesto el papel del campo $t^a$, caracterizado, como se ver\'a en la siguiente secci\'on, por la elecci\'on de un campo vectorial tridimensional denominado \textit{shift}.

Habiendo establecido los elementos b\'asicos de esta perspectiva, a continuaci\'on se procede a desarrollar el formalismo para campos tensoriales de acuerdo con esta \textit{separaci\'on}, empezando por la descomposici\'on de vectores y campos vectoriales en partes tangente y normal a la hipersuperficie.

\subsection{Vectores y covectores tangentes a la hipersuperficie}

\noindent 
Los vectores tangentes a la hipersuperficie $\Sigma_t$ se definen como aquellos vectores cuyas curvas integrales est\'an completamente contenidas en $\Sigma_t$. Como las hipersuperficies $\Sigma_t$ son de Cauchy, \'estos vectores son tipo espacio. 

De aqu\'i en adelante, se indicar\'a con una \textit{tilde} $ ( \,\tilde{\,}\, )$ que un vector es tangente a la hipersuperficie $\Sigma_t$. Asimismo, se denotar\'a por $\widetilde{\mathcal{T}}_p \Sigma_t \subset\mathcal{T}_p \mathcal{M}$ al subespacio de vectores tangentes a $\Sigma_t$, en el punto $p \in \Sigma_t$.

Como la funci\'on $t$ es constante sobre toda la hipersuperficie $\Sigma_t$, la derivada de $t$ en la direcci\'on de cualquier vector tangente a $\Sigma_t$ se anula. Por lo tanto, cualquier vector tangente $\widetilde{v}^a$ cumple con la ecuaci\'on
\begin{equation}
\tilde v^a \nabla_a t =0. \label{FormaNormal}
\end{equation}
As\'imismo, un vector \textit{ortogonal} a la superficie se define como un vector ortogonal a todo vector tangente a la hipersuperficie. Dado que la hipersuperficie $\Sigma_t$ es homeomorfa a una variedad tridimensional, el subespacio de vectores ortogonales a ella es unidimensional. 

De la Ec. \eqref{FormaNormal}, tenemos que el campo vectorial tipo tiempo $\nabla^a t$ es ortogonal a $\Sigma_t$, por lo que el vector normal en cada punto $p$ de $\Sigma_t$ se expresa como
\begin{equation}
n^a (p) \equiv - \left.\frac{g^{ab} \nabla_b t}{\sqrt{-g^{ab}\nabla_a t \nabla_b t}}\right|_{p\in\Sigma_t}. \label{normal}
\end{equation}
El signo se ha escogido de modo que el campo $n^a$ sea tipo tiempo dirigido al futuro. Entonces, dado un punto $p\in \Sigma_t$, se denota por $\mathcal{N}_p$ al subespacio de $\mathcal{T}_p\mathcal{M}$ generado por los vectores proporcionales a $n^a(p)$, el cual es justamente el subespacio de vectores ortogonales a la hipersuperficie en el punto $p$,
\begin{equation}
\mathcal{N}_p=\{\lambda n^a (p):\lambda\in\R\}. \label{SubVectNorm}
\end{equation}
Considerando esta separaci\'on punto a punto sobre $\Sigma_t$, se tiene que un campo vectorial ortogonal a $\Sigma_t$ siempre se puede expresar como

\begin{equation*}
v^a = v_\bot n^a,
\end{equation*}
donde $v_\bot$ es una funci\'on real sobre $\Sigma_t$. 

Por lo tanto, todo vector tangente a un punto $p$ de $\Sigma_t$ se puede expresar como la suma de un vector tangente a la hipersuperficie y un vector ortogonal a ella,
\begin{equation}
v^a = \widetilde{v}^a + n^a(p) v_\bot,  \label{SeparaVector}
\end{equation}
es decir, el espacio tangente a $p \in \Sigma_t$ se puede separar como
\begin{equation}
\mathcal{T}_p\mathcal{M} = \widetilde{\mathcal{T}}_p{\Sigma}_t\oplus \mathcal{N}_p, \label{DescompEspTangente}
\end{equation}
donde $\oplus$ denota la suma directa de subespacios. Tomando esta definici\'on punto a punto sobre $\Sigma_t$, quedan definidos los campos vectoriales tangentes a $\Sigma_t$.

La extensi\'on de esta separaci\'on para campos de covectores o $1-$formas es directa. Un campo de covectores $\tilde \omega_a$ es tangente a $\Sigma_t$ si para todo punto en $\Sigma_t$ se cumple que
\begin{equation}
\tilde \omega_a n^a = 0.
\end{equation} 
De aqu\'i en adelante la tilde tambi\'en se utilizar\'a para indicar que un campo de covectores es tangente a $\Sigma_t$. 

An\'alogamente, un campo $\omega_a$ es ortogonal a $\Sigma_t$ si para todo campo vectorial tangente $\tilde{v}^a$ se cumple
\begin{align}
\omega_a \tilde{v}^a = 0.
\end{align}

Considerando 
\begin{equation}
n_a \equiv g_{ab} n^b,
\end{equation}
y la Ec. \eqref{FormaNormal}, se tiene que todo campo de covectores ortogonales a $\Sigma_t$ se puede expresar como
\begin{equation}
\omega_a = \omega_\bot n_a,
\end{equation}
siguiendo un razonamiento an\'alogo al caso de campos vectoriales.

Tal como ocurre para el espacio tangente al punto $p\in \Sigma_t$, el espacio cotangente a $p$ se separa como
\begin{equation}
\mathcal{T}^*_p \mathcal{M} = \widetilde{\mathcal{T}}^*_p \Sigma_t  \oplus \mathcal{N}^*_p, \label{DescompEspCoTangente}
\end{equation}
donde $\widetilde{\mathcal{T}}^*_p \Sigma_t$ es el subespacio de $\mathcal{T}^*_p \mathcal{M}$ formado por todos los covectores tangentes a $\Sigma_t$ en el punto $p$, y se ha denotado al espacio de covectores ortogonales a $\Sigma_t$ en $p$ como
\begin{equation}
\mathcal{N}^*_p \equiv \{\lambda n_a(p):\lambda\in\R\}, \label{SubCoVectNorm}
\end{equation}
de modo que todo covector en $p\in \Sigma_t$ se expresa como
\begin{align}
\omega_a &= \widetilde{\omega}_a + n_a (p) \omega_\bot \label{Separa1Forma}.
\end{align}
Nuevamente, esta separaci\'on se extiende al caso de campos aplicando estas reglas punto a punto sobre $\Sigma_t$.

Gracias a que se est\'a trabajando en un espaciotiempo foliado por hipersuperficies $\Sigma_t$, cada punto $q\in\mathcal{M}$ est\'a contenido en una y s\'olo una hipersuperficie $\Sigma_{t(q)}$, lo que permite extender esta descomposici\'on, punto a punto, para campos vectoriales o de covectores sobre $\mathcal{M}$, considerando en cada punto $q$ la separaci\'on con respecto a la hipersuperficie $\Sigma_{t(q)}$.

A los campos que resultan de esta separaci\'on, $\widetilde{v}^a$ y $v_\bot n^a$ para vectores, y $\widetilde{\omega}_a$ y $\omega_\bot n_a$ para covectores, se les denomina proyecciones tangente y normal, respectivamente.

La componente normal de un campo vectorial y respectivamente de un campo de covectores est\'an dadas por
\begin{align}
v_\bot &= -n_a v^a, \label{ProyNormVect}\\
\omega_\bot &= -n^a \omega_a, \label{ProyNorm1Form}
\end{align}
lo cual se puede verificar contrayendo \eqref{SeparaVector} con $n_a$ y \eqref{Separa1Forma} con $n^a$.

Las proyecciones tangentes se obtienen sustituyendo \eqref{ProyNormVect} y \eqref{ProyNorm1Form} en \eqref{SeparaVector} y \eqref{Separa1Forma}, respectivamente, quedando
\begin{align}
\widetilde{v}^a &= (\delta^a\,_b + n^a n_b) v^b, \label{ProyTangVect}\\
\widetilde{\omega}_a &= (\delta_a\,^b + n_a n^b) \omega_b, \label{ProyTang1Form}
\end{align}
donde $\delta^a\,_b \equiv g^{ac}g_{cb}$ y $\delta_a\,^b \equiv g_{ac}g^{cb}$.

De \eqref{ProyTangVect} y \eqref{ProyTang1Form} se tiene que los proyectores de vectores en el subespacio tangente $\widetilde{\mathcal{T}}\Sigma$, y respectivamente el de covectores en el subespacio cotangente $\widetilde{\mathcal{T}}^* \Sigma$ est\'an dados por
\begin{align}
h^{a}\,_{a'} &\equiv \delta^a\,_{a'} + n^a n_{a'}, \label{ProyectorH1}\\
h_a\,^{a'} &\equiv \delta_a\,^{a'} + n_a n^{a'}, \label{ProyectorH2}
\end{align}
respectivamente. N\'otese que estos tensores act\'uan como la identidad para vectores y covectores tangentes.

A partir de \eqref{ProyNormVect} y \eqref{ProyNorm1Form} se tiene que los proyectores de vectores en el subespacio tangente $\mathcal{N}$ y de covectores en el subespacio cotangente $\mathcal{N}^*$ son
\begin{align}
{P_\bot}^a\,_{a'} &\equiv -n^a n_{a'},\\
P_{\bot\,a}\,^{a'} &\equiv -n_a n^{a'},
\end{align}
respectivamente. 

En t\'erminos de estos proyectores, se pueden reescribir \eqref{ProyectorH1} y \eqref{ProyectorH2} como las descomposiciones de la \textit{identidad} para vectores $\delta^a\,_{a'}$ y para covectores $\delta_a\,^{a'}$, es decir
\begin{align}
\delta^a\,_{a'} &= h^{a}\,_{a'} + {P_\bot}^a\,_{a'} = h^{a}\,_{a'} - n^a n_{a'} , \label{DescompDeltaV}\\
\delta_a\,^{a'} &= h_a\,^{a'} + P_{\bot\,a}\,^{a'} = h_a\,^{a'} - n_a n^{a'}. \label{DescompDeltaCoV}
\end{align}

Las expresiones \eqref{SeparaVector} y \eqref{Separa1Forma} indican c\'omo reconstruir vectores y covectores del espaciotiempo a partir de su proyecci\'on tangente (algebr\'aicamente tridimensional) y su \textit{componente} ortogonal (una funci\'on real), lo que justifica la denominaci\'on $3+1$ de este formalismo. Asimismo, las expresiones \eqref{DescompDeltaV} y \eqref{DescompDeltaCoV} ser\'an \'utiles para realizar la descomposici\'on $3+1$ de tensores de rango arbitrario.

Respecto al campo $t^a$, es convencional denominar \textit{shift} a su proyecci\'on tangente y representarla por $N^a$, mientras que a su componente normal se le denomina funci\'on \textit{lapse} y se le representa por $N$. Entonces, la descomposici\'on $3+1$ de $t^a$ es
\begin{equation}
t^a = N^a + n^a N. \label{3p1t}
\end{equation}
De \eqref{tdt} se sigue que la funci\'on \textit{lapse} tambi\'en se puede expresar como
\begin{equation}
N = \frac{1}{n^a \nabla_a t}\,\, ,\label{lapse}
\end{equation}
y de \eqref{3p1t} que $N$ sea el factor de normalizaci\'on en la expresi\'on \eqref{normal}, es decir,
\begin{equation}
N= \frac{1}{\sqrt{-g^{ab}\nabla_a t \nabla_b t}}.
\end{equation}
Por lo tanto, $n_a$ y $N$ est\'an determinados por la funci\'on $t$ y la m\'etrica del espaciotiempo, mientras que el \textit{shift} $N^a$ depende de la elecci\'on particular del campo $t^a$. En el Ap\'endice \ref{Persp3D} se hace expl\'icita la dependencia de estos campos en la expresi\'on de un vector desde el punto de vista tridimensional.

\subsection{Tensores de rango arbitrario.}\label{TensoresArbitrarios}

\noindent 
La separaci\'on de los espacios de vectores o covectores en una parte tangente y una parte ortogonal expresada en \eqref{DescompEspTangente} y \eqref{DescompEspCoTangente}, se puede generalizar para tensores de rango arbitrario a partir de su descomposici\'on como producto tensorial de espacios de vectores y covectores. Por ejemplo, para el espacio de tensores $(0,2)$ definidos sobre un punto $p$ de la hipersuperficie $\Sigma_t$, se tiene
\begin{align}
T^*_p \mathcal{M} \otimes T^*_p \mathcal{M} &= (\widetilde{T}^*_p \Sigma_t \oplus \mathcal{N}^*_p)\otimes (\widetilde{T}^*_p \Sigma_t \oplus \mathcal{N}^*_p) \nonumber\\
&=(\widetilde{T}^*_p \Sigma_t \otimes \widetilde{T}^*_p \Sigma_t) \oplus (\widetilde{T}^*_p \Sigma_t \otimes \mathcal{N}^*_p) 
\nonumber\\
& \oplus(\mathcal{N}^*_p \otimes \widetilde{T}^*_p \Sigma_t) \oplus (\mathcal{N}^*_p \otimes \mathcal{N}^*_p).
\end{align}

Esta descomposici\'on indica que todo tensor $(0,2)$, $T_{ab}$, se puede separar como la suma de los siguientes t\'erminos:
\begin{itemize}
	\item Un tensor $(0,2)$ completamente tangente a la hipersuperficie, es decir, que se anula al contraerlo con el vector normal $n^a$ en cualquiera de sus \'indices. A este t\'ermino se le denotar\'a colocando una \textit{tilde} sobre el s\'imbolo del tensor original, $\widetilde{T}_{ab}$. 
	\item El producto tensorial de $n_a$ con un covector tangente, $\widetilde{\acute{\tau}}_b$.
	\item El producto tensorial de un covector tangente, $\widetilde{\grave{\tau}}_a$, con $n_b$.
	\item Un escalar $T_{\bot}$ multiplicando a $n_a n_b$, correspondiente a su \textit{componente} ortogonal. 
\end{itemize}
Es decir, la separaci\'on $3+1$ de un tensor $(0,2)$ es de la forma
\begin{align}
T_{ab} &= 
\widetilde{T}_{ab} + \widetilde{\grave{\tau}}_a n_b + n_a \widetilde{\acute{\tau}}_b + n_a n_b T_\bot. \label{Separa02}
\end{align}

Utilizando la descomposici\'on de la identidad \eqref{DescompDeltaCoV} para cada \'indice de $T_{ab}$, es decir, escribiendo
\begin{equation}
	T_{ab} = \delta_a\,^{a'} \delta_{b}\,^{b'} T_{a' b'},
\end{equation}
y desarrollando cada identidad como en \eqref{DescompDeltaCoV}, se obtienen expresiones para cada uno de los tensores presentes en \eqref{Separa02}, 
\begin{align}
\widetilde{T}_{ab} &= h_a\,^{a'} h_b\,^{b'} T_{a' b'}, \label{Ttilde}\\
\widetilde{\grave{\tau}}_a &= h_a\,^{a'} (- n^{b'}) T_{a' b'},\\
\widetilde{\acute{\tau}}_b &= (-n^{a'}) h_b\,^{b'} T_{a'b'},\\
T_{\bot} &= n^{a'} n^{b'} T_{a'b'}. \label{Tbot}
\end{align}
En este trabajo, a cada uno de los t\'erminos de \eqref{Separa02} se les denominar\'a proyecciones, y a los tensores tangentes de cada proyecci\'on, \eqref{Ttilde}-\eqref{Tbot}, se les denominar\'a \textit{componentes de proyecci\'on}. 

La m\'etrica inducida es un tensor $(0,2)$ tangente a la hipersuperficie que, actuando sobre dos vectores tangentes a la hipersuperficie, tiene la misma acci\'on que la m\'etrica del espaciotiempo. Es inmediato verificar que la proyecci\'on totalmente tangente de la m\'etrica,
\begin{align}
h_{ab}&\equiv h_{a}\,^{a'} h_{b}\,^{b'} g_{a'b'} \nonumber\\
&= g_{ab} + n_a n_b, \label{MetricaInducida}
\end{align}
es el \'unico tensor tangente a la hipersuperficie que cumple con estas condiciones.

Denotar la m\'etrica inducida como $h_{ab}$ es consistente con la notaci\'on que se ha introducido para los proyectores tangentes, en el sentido de que ``$g_{ab}$ baja \'indices'', pues
\begin{equation*}
h_{ab} = g_{aa'} h^{a'}\,_b = h_a\,^{b'} g_{b'b}.
\end{equation*}

N\'otese tambi\'en que la m\'etrica inducida permite \textit{subir} y \textit{bajar} \'indices de tensores tangentes a $\Sigma_t$, y 
\begin{equation}
h^{ab}\equiv g^{ac}g^{bd} h_{cd} \label{InducidaInversa}
\end{equation}
funge como operador m\'etrica inversa, puesto que 
\begin{equation}
	h^{ab}h_{bc}=h^a\,_c.
\end{equation}


Cuando se realiza la separaci\'on del espacio (co)tangente a $\mathcal{M}$ (en cada punto $p$), en un subespacio (co)tangente a $\Sigma_{t(p)}$ y el subespacio de (co)vectores paralelos a $n^a$ (o $n_a$) en $p$, y se aplica esta separaci\'on al producto tensorial con el que se definen los espacios de tensores de rango superior, se obtiene que el n\'umero de maneras en que se puede proyectar un tensor $(k,0)$ es $2^{k}$, puesto que se tendr\'a una descomposici\'on de la forma
\begin {align}
(\mathcal{T}_p \mathcal{M})^k  & \equiv \bigotimes_{i=1}^k \mathcal{T}_p \mathcal{M} 
= (\mathcal{T}_p \Sigma_{t(p)}\oplus\mathcal{N})^k 
\na
= \bigoplus_{j=0}^{k} \mathscr{P}[ (\mathcal{T}_p \Sigma_{t(p)})^{k-j} (\mathcal{N})^j],
\end {align}
donde $\mathscr{P}$ indica las permutaciones sobre los $k$ \'indices de todas las posibles proyecciones $j$ veces contra\'idas con $n$, es decir, todas las posibles combinaciones donde $j$ \'indices de la proyecci\'on son normales y el resto tangentes. El n\'umero de permutaciones para cada $j$ es $\binom{k}{j}$, por lo que el n\'umero total de proyecciones es
\begin{equation}
\sum_{j=0}^k \binom{k}{j} = 2^k.
\end{equation}
Siguiendo esta l\'ogica, en general para tensores tipo $(k,l)$, se tendr\'a 
\begin{align}
(\mathcal{T}_p \mathcal{M})^k \otimes (\mathcal{T}_p^* \mathcal{M})^l \qquad \qquad \qquad \qquad &\, \nonumber \\
=\bigoplus_{i=0}^{k}\bigoplus_{j=0}^{l} \mathscr{P} [ (\mathcal{T}_p \Sigma_{t(p)})^{k-i} (\mathcal{N})^i &\,\nonumber\\
\otimes (\mathcal{T}_p^* \Sigma_{t(p)})^{l-j} (\mathcal{N}^*)^j]&,
\end{align}
donde el n\'umero total de proyecciones es $2^{k+l}$. 

Aunque en la mayor\'ia de aplicaciones comunes para el formalismo $3+1$ basta con la descomposici\'on de vectores, covectores y tensores de rango $2$, en situaciones menos est\'andar, como en el estudio del acoplamiento de campos cu\'anticos con gravedad, as\'i como en el estudio de acciones efectivas para gravedad cu\'antica, donde adem\'as de t\'erminos como $R^{abcd}R_{abcd}$ y $R^{ab}R_{ab}$,  se requiere el c\'alculo de derivadas superiores como $\square R$, o los desarrollos en series de Taylor covariantes$^{ii}$, que en principio involucran derivadas del tensor de Riemann de todo orden, es deseable contar con un formalismo que permita realizar estos c\'alculos de manera totalmente general y para un n\'umero de \'indices  arbitrario.

El crecimiento exponencial del n\'umero de proyecciones, al incrementarse el rango de los tensores, implica que, si se desea tratar con total generalidad la descomposici\'on $3+1$, es necesario primero sistematizar la nomenclatura de estas componentes de proyecci\'on. 

Por ejemplo, para el caso $(0,2)$, las cuatro proyecciones previstas son justamente cada uno de los t\'erminos de \eqref{Separa02}, y se puede utilizar una notaci\'on en la que a cada componente de proyecci\'on se le asigna un s\'imbolo diferente, como los s\'imbolos del lado izquierdo de las Ecs. \eqref{Ttilde}-\eqref{Tbot}. Sin embargo, para tensores de rango $(0,l)$ con $l>2$, deja de ser pr\'actico denotar cada componente de proyecci\'on con un s\'imbolo distinto, por lo que en su lugar, se asignar\'a a cada proyecci\'on una etiqueta num\'erica entre $0$ y $2^l-1$.

El primer paso para establecer una notaci\'on apropiada para este formalismo general ser\'a fijar reglas para la notaci\'on de los \'indices de todo tensor $T$ del tipo $(0,l)$. Sus \'indices se etiquetar\'an de modo que indiquen su posici\'on respecto al \'indice m\'as a la derecha, por lo que un tensor $(0,2)$ se expresar\'a como $$T_{a_1 a_0},$$
y en general, el conjunto de etiquetas de \'indices para un tensor $(0,l)$ ser\'a 
\begin{equation}
	I_l\equiv \{ l-1,\dots, 1,0\},
\end{equation}
por lo que bajo esta convenci\'on, este tipo de tensor se expresar\'a como
\begin{equation}
	T_{a_{l-1} a_{l-2} \dots a_{1} a_{0}}. \label{OrdenIndices}
\end{equation}

A continuaci\'on establecemos c\'omo se asigna una etiqueta $m$ a una proyecci\'on dada. Sea $\zeta_m$ el conjunto que codifica la expansi\'on binaria del n\'umero entero $m \in [0,2^{l-1}]$ en la forma
\begin{equation}
m=\sum_{j\in \zeta_m} 2^{j}. \label{expansion2m}
\end{equation}
\'Esto no es m\'as que la notaci\'on desarrollada en base dos de $m$, por lo que los conjuntos $\zeta_m$ para los primeros cinco enteros son:
\begin{align*}
0 &= 0 &\Rightarrow \zeta_0 &= \emptyset, \\
1 &= 2^0 &\Rightarrow \zeta_1 &= \{ 0 \},\\
2 &= 2^1 &\Rightarrow \zeta_2 &= \{ 1 \},\\
3 &= 2^1 + 2^0 &\Rightarrow \zeta_3 &= \{0,1 \},\\
4 &= 2^2 &\Rightarrow \zeta_4 &= \{2\},\\
5 &= 2^2 + 2^0 &\Rightarrow \zeta_5 &= \{0,2\},
\end{align*}
y as\'i sucesivamente. Rec\'iprocamente, a partir de un conjunto  $\zeta_m$ de n\'umeros enteros, se puede construir un n\'umero $m$ mediante la f\'ormula \eqref{expansion2m}.

La receta para asignar etiquetas a una proyecci\'on $3+1$ de un tensor ser\'a la siguiente: Etiquete los \'indices del tensor como en \eqref{OrdenIndices} y construya el conjunto $\zeta_m$ como el conjunto de etiquetas de los \'indices que en la proyecci\'on son normales, es decir, las etiquetas de los \'indices de los covectores $n$, y luego, asigne a la proyecci\'on la etiqueta $m$ dada por \eqref{expansion2m}.

Esta convenci\'on no resulta intuitiva, pero es una manera simple de etiquetar proyecciones directamente, si se considera la siguiente \textit{regla visual}: Sustituya cada \'indice de $n$ por un n\'umero ``$1$'', y asigne al resto de los \'indices, que pertenecer\'an a la componente de proyecci\'on tangente, d\'igitos ``$0$''. Escriba los d\'igitos en el orden original de los \'indices correspondientes en el tensor no desarrollado, \eqref{OrdenIndices}. Lo que se obtiene es la notaci\'on binaria del n\'umero $m$ que le corresponde a la proyecci\'on en cuesti\'on.

Por ejemplo, denotando por un sub\'indice $B$ a un n\'umero en notaci\'on binaria, se tendr\'ia en \eqref{Separa02},
\begin{align*}
T_{a_1 a_0} &= \underbrace{\widetilde{T}_{a_1 a_0}}_{00_B=0} + \underbrace{\underbrace{\widetilde{\grave{\tau}}_{a_1}}_{0} \underbrace{n_{a_0}}_1 }_{0 1_B = 1} \\
& + \underbrace{\underbrace{n_{a_1}}_1 \underbrace{\widetilde{\acute{\tau}}_{a_0}}_0}_{10_B=2} + \underbrace{\underbrace{n_{a_1}}_1 \underbrace{n_{a_0}}_1}_{11_B=3}T_\bot.
\end{align*}

Al conjunto$^{iii}$  que contiene las etiquetas de los \'indices 
proyectados de manera tangente se le denota por
\begin{equation}
	Y^l_m\equiv I_l-\zeta_m.
\end{equation}

Finalmente, la proyecci\'on $m$ de un tensor  $T$ de tipo $(0,l)$ se denotar\'a como
\begin{align}
\,^mP(T_{a_{l-1}\dots a_0}) \equiv \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  &\, \nonumber\\
\bigotimes_{i\in Y^l_m} h_{a_i}\,^{a'_i}\bigotimes_{j\in \zeta_m} n_{a_j} (-n^{a'_j}) T_{a'_{l-1}\dots a'_0} &. \label{ProyeccionM}
\end{align}

Se puede simplificar a\'un m\'as esta expresi\'on si se considera la siguiente \textit{notaci\'on multiplicativa} por conjunto de \'indices, exclusivamente para proyectores, 
\begin{align*}
n_{a_A} &\equiv \bigotimes_{i\in A} n_{a_i},\\
h_{a_A}\,^{a'_A} &\equiv \bigotimes_{i\in A} h_{a_i}\,^{a'_i},
\end{align*}
donde $A$ es un conjunto de etiquetas de \'indices. Para el resto de los tensores, se define una notaci\'on abreviada para conjuntos de \'indices:
\begin{equation*}
T_{a_A} \equiv T_{a_{A_1} \dots a_{A_{s}}},
\end{equation*}
es decir, $T_{a_A}$ es un tensor cuyos \'indices est\'an etiquetados por los elementos del conjunto \textit{ordenado} $A=\{A_1, \dots , A_s\}$, donde en general $A_i < A_{i+1}$. 

Haciendo uso de esta notaci\'on, la proyecci\'on $m$ de un tensor $(0,l)$ se expresa como
\begin{equation}
\,^mP(T_{a_{I_l}}) = h_{a_{Y^l_m}}\,^{a'_{Y^l_m}} \, n_{a_{\zeta_m}} (-n)^{a'_{\zeta_m}} T_{a'_{I_l}},
\end{equation}
las componentes de proyecci\'on se expresan como
\begin{equation}
\,^mT_{a_{Y^l_m}} = h_{a_{Y^l_m}}\,^{a'_{Y^l_m}} (-n)^{a'_{\zeta_m}} T_{a'_{I_l}},
\end{equation}
y en general, la descomposici\'on $3+1$ de un tensor $(0,l)$ se expresa como
\begin{equation}
T_{a_{I_l}} = \sum_{m=0}^{2^l-1} \,^mP(T_{a_{I_l}}) = \sum_{m=0}^{2^l-1} n_{a_{\zeta_m}} \,^{m}T_{a_{Y^l_m}}. \label{ProyeccionGral3p1}
\end{equation}
N\'otese que la $m-$\'esima componente de proyecci\'on es un tensor tangente $(0,l-z)$, con $z$ el n\'umero de elementos en $\zeta_m$. 

Esta convenci\'on de notaci\'on se generaliza directamente para tensores de tipo $(k,l)$, tomando el valor posicional de los \'indices como etiqueta, independientemente de si son \'indices ``covariantes'' o ``contravariantes''. 

Se conservar\'a la convenci\'on de denotar por una tilde a la proyecci\'on completamente tangente de un tensor, correspondiente a la proyecci\'on identificada por el n\'umero $0$ (por ejemplo $\widetilde{T}_{a_{I_l}}$) as\'i como el empleo del sub\'indice $\bot$ para referirse a la proyecci\'on completamente ortogonal de un tensor, correspondiente a la proyecci\'on identificada por el n\'umero $2^{(k+l)}-1$ (por ejemplo, $T_{\bot}$).

\subsubsection{Simetrizaci\'on y antisimetrizaci\'on de \'indices}

\noindent 
Se ha establecido una convenci\'on donde la posici\'on de los \'indices juega un papel importante, por lo que hay que tener cuidado de realizar cualquier intercambio de etiquetas de \'indices \textbf{despu\'es} de que se hayan etiquetado las componentes. Por ejemplo, el tensor $T_{a_1 a_0}$ se desarrolla en esta notaci\'on como
\begin{equation}
	T_{a_1 a_0} = \tilde{T}_{a_1 a_0} + n_{a_0} \,^1 T_{a_1} + n_{a_1} \,^2 T_{a_0} + n_{a_1} n_{a_0} T_{\bot},  \label{NotacionTab}
\end{equation}
y para expresar su simetrizaci\'on,
\begin{equation*}
	T_{(a_1 a_0)} \equiv \frac{1}{2!} \left(T_{a_1 a_0} + T_{a_0 a_1}\right),
\end{equation*}
se deber tomar en cuenta primero el etiquetado de componentes dado en \eqref{NotacionTab} y despu\'es el intercambio $a_1 \leftrightarrow a_0$ para el segundo t\'ermino, obteniendo
\begin{align*}
	T_{(a_1 a_0)} &= \frac{1}{2!} \Big(\tilde{T}_{a_1 a_0} + n_{a_0} \,^1 T_{a_1} \\
	& + n_{a_1} \,^2 T_{a_0} + n_{a_1} n_{a_0} T_{\bot}\\
	& + \tilde{T}_{a_0 a_1} + n_{a_1} \,^1 T_{a_0} \\
	& + n_{a_0} \,^2 T_{a_1} + n_{a_0} n_{a_1} T_{\bot}\Big),
\end{align*}
es decir,
\begin{align}
	T_{(a_1 a_0)} &= \frac{1}{2!} \left(\underbrace{\tilde{T}_{a_1 a_0} + \tilde{T}_{a_0 a_1}}_{\,^0P(T_{(a_1 a_0)})} + \underbrace{n_{a_0} \left[\,^1 T_{a_1} + \,^2 T_{a_1} \right]}_{\,^1P(T_{(a_1 a_0)})}\right.\nonumber\\
	&  \left.  + \underbrace{n_{a_1} \left[\,^2 T_{a_0} + \,^1 T_{a_0}\right]}_{\,^2P(T_{(a_1 a_0)})} + \underbrace{n_{a_1} n_{a_0} 2 T_{\bot}}_{\,^3P(T_{(a_1 a_0)})}\right). \label{SymT02}
\end{align}
De manera an\'aloga, la antisimetrizaci\'on de los \'indices de este tensor en forma $3+1$ ser\'a
\begin{align}
T_{[a_1 a_0 ]} &= \frac{1}{2!} \left(\underbrace{\tilde{T}_{a_1 a_0} - \tilde{T}_{a_0 a_1}}_{\,^0P(T_{[a_1 a_0]})} + \underbrace{n_{a_0} \left[\,^1 T_{a_1} - \,^2 T_{a_1} \right]}_{\,^1P(T_{[a_1 a_0]})}\right.\nonumber\\
& \left.  + \underbrace{n_{a_1} \left[\,^2 T_{a_0} - \,^1 T_{a_0}\right]}_{\,^2P(T_{[a_1 a_0]})}\right). \label{AsymT02}
\end{align}
N\'otese que en este caso la proyecci\'on con etiqueta $m=3$ se ha cancelado id\'enticamente porque involucra antisimetrizar el producto sim\'etrico $n_{a_1} n_{a_0}$.

Si se tiene un tensor $(0,l)$ arbitrario, y se desea simetrizar o antisimetrizar el conjunto de sus \'indices etiquetados por los elementos del conjunto ordenado $S$ (en el caso anterior, $S=\{1,0\}$), entonces es necesario primero establecer una convenci\'on para expresar las permutaciones involucradas. 

Una permutaci\'on $p$ sobre un conjunto ordenado $S$ es una regla que intercambia $k$ elementos del conjunto entre s\'i. Si $s$ es el n\'umero de elementos en $S$, entonces el n\'umero total de permutaciones de sus elementos es $s!$. Estas posibles permutaciones pueden ordenarse de diversas maneras, pero el ordenamiento concreto no es relevante, y basta con utilizar una regla consistente para enumerar las permutaciones. A la $i-$\'esima permutaci\'on del conjunto $S$ se le denotar\'a por $S_i\equiv p_i(S)$. La permutaci\'on inversa de $p_i$ es la permutaci\'on $p^{-1}_i$ tal que $p^{-1}_i (p_i (S))=S$. El signo de la $i-$\'esima permutaci\'on, $\sigma_i$, es positivo si la permutaci\'on se obtiene de un n\'umero par de intercambios binarios de elementos, y negativo si se obtiene de un n\'umero impar de intercambios binarios de elementos. Sea $m_{p_i}$ el n\'umero de componente definido como
\begin{equation}
	m_{p_i} \equiv \sum_{k\in p_i (\zeta_m)} 2^{k}.
\end{equation}

Considerando estas convenciones, la expresi\'on general para la $m-$\'esima proyecci\'on de un tensor $T\,(0,l)$ simetrizado en los \'indices con etiquetas $S$ estar\'a dada por
\begin{equation}
	\,^mP(\operatorname{Sim}_S (T_{a_{I_l}})) = \frac{n_{a_{\zeta_m}}}{s!} \sum_{i=1}^{s!} \,^{m_{p^{-1}_i}}T_{a_{p_i(Y^l_m)}}, \label{Simetrizacion}
\end{equation}
mientras que la antisimetrizaci\'on correspondiente ser\'a
\begin{equation}
\,^mP(\operatorname{Asim}_S(T_{a_{I_l}})) = \frac{n_{a_{\zeta_m}}}{s!} \sum_{i=1}^{s!} \sigma_i \,^{m_{p^{-1}_i}}T_{a_{p_i(Y^l_m)}}. \label{Antisimetrizacion}
\end{equation}

\subsubsection{Productos y contracciones}

\noindent 
Si se tienen dos tensores, $A$ de tipo $(0,l_A)$, y $B$ de tipo $(0,l_B)$, el producto tensorial de \'estos estar\'a dado por
\begin{equation}
	(A \otimes B)_{a_{l_A+l_B-1}\dots a_0} \equiv A_{a_{l_A+l_B-1}\dots a_{l_B}} \otimes B_{a_{l_B-1}\dots a_0}. 
\end{equation}
Entonces, la $m-$\'estima componente de proyecci\'on estar\'a dada por
\begin{equation}
	\,^m (A \otimes B)_{a_{Y^{l_A+l_B}_m}} = \,^{m_A} A_{a_{Y^{l_A}_{m_A} + 2^{l_B}}} \,^{m_B} B_{a_{Y^{l_B}_{m_B}}},\label{Producto}
\end{equation} 
donde 
\begin{align*}
	m_B &\equiv \sum_{k\in \zeta_m\cap I_{l_B}}2^k,\\
	m_A &\equiv 2^{-l_B} (m-m_B).
\end{align*}

La contracci\'on de los \'indices con etiquetas $j$ y $k$ de un tensor $T_{a_{I_l}}$, donde $i,j \in I_l$, est\'a dada por
\begin{align}
\,g^{a_j a_k} T_{a_{I_l}}& = (h^{a_j a_k} -n^{a_j}n^{a_k}) T_{a_{I_l}} 
\nonumber\\	&
	= \sum_{m=0}^{2^l-1} \Bigg[n_{a_{\zeta_m}} h^{a_j a_k} \,^mT_{a_{Y^l_m}} 
\na	
	-n^{a_j}n^{a_k}n_{a_{\zeta_m}}\,^mT_{a_{Y^l_m}} \Bigg] &\,
\end{align}
y para preservar la consistencia de la notaci\'on, los \'indices se deber\'an volver a etiquetar en el orden est\'andar \eqref{OrdenIndices} tras omitir los \'indices que se han contra\'ido, es decir, aquellos con las etiquetas $i$ y $j$. A esta transformaci\'on le denominaremos transformaci\'on de traza para los fines de esta secci\'on.

Entonces, la $m-$\'esima componente de proyecci\'on de una contracci\'on ser\'a
\begin{align}
	\,^m(g^{a_j a_k} T_{a_{I_l}}) &= h^{b_j b_k} \,^{m_0}T_{a_{l-3}\dots b_{j} \dots b_k \dots a_0} \nonumber\\
	&\qquad -\,^{m_0+2^j+2^k}T_{Y^{l-2}_{m}}, \label{Traza}
\end{align}
donde $m_{0}= \sum_{\kappa \in \zeta_{m_{0}}} 2^\kappa$, y $\zeta_{m_0}$ es el conjunto de \'indices que no incluye a los \'indices $i$ o $j$, y que bajo la transformaci\'on de traza resulta en el conjunto $\zeta_m$.

Por ejemplo, si se contraen los \'indices $0$ y $2$ de un tensor $(0,4)$, la transformaci\'on de traza corresponde al siguiente mapeo:
\begin{align*}
	1 &\rightarrow 0, & 3 &\rightarrow 1.
\end{align*}
As\'i, los conjuntos $\zeta_m$ que no incluyen ni a $0$ ni a $2$ (revisando la Tabla I del Ap\'endice \ref{TablasIndices}) se transforman como 
\begin{align*}
	\zeta_0 &= \emptyset & &\rightarrow & \zeta_0 &= \emptyset,\\
	\zeta_2 &= \{1\} & &\rightarrow & \zeta_1 &= \{0\},\\
	\zeta_8 &= \{3\} & &\rightarrow & \zeta_2 &= \{1\},\\
	\zeta_{10} &= \{3,1\} & &\rightarrow & \zeta_3 &= \{1,0\}.
\end{align*}
Entonces, la expresi\'on \eqref{Traza} en este caso produce
\begin{align}
	T_{a_1 b a_0}\,^b &= h^{b_2 b_0} \,^{0}T_{a_1 b_2 a_0 b_0} -\,^{5}T_{a_1 a_0} \nonumber\\
	& + n_{a_0}\left( h^{b_2 b_0} \,^{2}T_{a_1 b_2 b_0} -\,^{7}T_{a_1} \right)\nonumber\\
	& + n_{a_1}\left( h^{b_2 b_0} \,^{8}T_{b_2 a_0 b_0} -\,^{13}T_{a_0} \right)\nonumber\\
	& + n_{a_1}n_{a_0}\left( h^{b_2 b_0} \,^{10}T_{b_2 b_0} -\,^{15}T_{\bot} \right). \label{Traza0402}
\end{align}

Para un tensor $T_{a_1 a_0}$, la transformaci\'on de traza es trivial y se obtiene de manera inmediata la expresi\'on
\begin{equation}
	T_{b}\,^b = \widetilde{T}_{b}\,^b - T_{\bot}. \label{TrazaT02}
\end{equation}

Para construir la contracci\'on de dos tensores, primero se calcula el producto tensorial de ambos, y despu\'es la contracci\'on sobre los correspondientes \'indices. Sin embargo, una f\'ormula expl\'icita en este caso no resulta de gran utilidad, ya que es m\'as eficiente calcular esta contracci\'on de manera directa. 

Una aplicaci\'on que motiva expresiones como \eqref{Producto} y \eqref{Traza}, y en general la introducci\'on de una notaci\'on especial para todas las proyecciones, es que pueden ser implementadas computacionalmente para obtener expresiones $3+1$, en principio, para cualquier tensor covariante, permitiendo manipulaciones de otro modo extenuantes. 

Adem\'as, estas expresiones  permiten obtener f\'ormulas \'utiles para aplicaciones t\'ipicas de este formalismo, como el c\'alculo del tensor de Ricci a partir del tensor de Riemann, mediante la expresi\'on \eqref{Traza0402}, obtenida directamente de \eqref{Traza}.

\section{Geometr\'ia Diferencial en el formalismo 3+1}

\noindent
La geometr\'ia intr\'inseca de la hipersuperficie se construye a partir de la m\'etrica inducida $h_{ab}$ sobre la hipersuperficie $\Sigma_t$, y su derivada asociada, $D_a$, que cumple con la condici\'on de compatibilidad con esta m\'etrica,
\begin{align}
	D_a h_{bc} = 0, \label{CompMetDh}
\end{align}
as\'i como la propiedad de \textit{no-torsi\'on},
\begin{equation}
	D_{[a} D_{b]} f = 0,
\end{equation}
para toda funci\'on escalar $f$ sobre $\Sigma_t$.

La curvatura intr\'inseca de $\Sigma_t$ est\'a caracterizada por el tensor de Riemann correspondiente a la m\'etrica inducida sobre la hipersuperficie, que est\'a definido por su acci\'on sobre covectores tangentes como
\begin{equation}
\,^{(3)}R_{a b c}\,^d \widetilde{\omega}_d \equiv D_a D_b \widetilde{\omega}_c-  D_b D_a \widetilde{\omega}_c, \label{Riemann3}
\end{equation}
y puede mostrarse \cite{WaldGR} que consta de combinaciones de derivadas de hasta segundo orden de la m\'etrica $h_{ab}$. M\'as adelante se mostrar\'a su relaci\'on con el tensor de Riemann del espaciotiempo. 

Debe tenerse en cuenta que la geometr\'ia intr\'inseca de s\'olo una hipersuperficie no contiene la informaci\'on sobre la geometr\'ia de todo el espaciotiempo, ya que, como es de esperarse de un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, se requiere como m\'inimo, la informaci\'on del cambio de su geometr\'ia al pasar de una hipersuperficie a otra, o en otras palabras, la derivada de la m\'etrica respecto al par\'ametro $t$. Esta informaci\'on est\'a contenida justamente en la \textit{curvatura extr\'inseca}.

\subsection{Curvatura extr\'inseca}

\noindent 
Una forma de caracterizar la geometr\'ia del espaciotiempo en una regi\'on dada es en t\'erminos de una \textit{congruencia geod\'esica}, que es una familia de geod\'esicas tipo tiempo tales que en cada punto de esa regi\'on pase una y s\'olo una geod\'esica de dicha familia. Tomando una geod\'esica de la congruencia como referencia, se describe el comportamiento de las geod\'esicas adyacentes al evolucionar de acuerdo al par\'ametro af\'in de la curva, es decir, su tiempo propio. 

Los vectores tangentes a la congruencia conforman un campo $\xi^a$, que cumple con la ecuaci\'on geod\'esica, 
\begin{equation}
\xi^a \nabla_a \xi^b = 0, \label{EcGeodesica}
\end{equation}
y es de norma constante,
\begin{equation}
	\xi^a \xi_a =-1,
\end{equation}
donde esto \'ultimo implica que
\begin{equation}
\xi_b \nabla_a \xi^b = 0. \label{OrtoXi}
\end{equation}
Considerando \eqref{EcGeodesica} y \ref{OrtoXi}, se tiene que
\begin{equation}
B_{ab}\equiv \nabla_a \xi_b
\end{equation}
es un tensor ortogonal a $\xi^a$. Este tensor indica c\'omo cambian las geod\'esicas ante un desplazamiento \textit{infinitesimal} en una direcci\'on $\chi^a$ ortogonal a la congruencia, es decir,
\begin{align}
\chi^a \nabla_a \xi^b = \chi^a B_a\,^b .
\end{align}

El teorema de Frobenius garantiza que si $\xi^a$ es ortogonal a una subvariedad $D-1$ dimensional, como una hipersuperficie de Cauchy, este tensor es tambi\'en sim\'etrico \cite{WaldGR}. Sea entonces una congruencia ortogonal a $\Sigma_t$, de modo que sobre \'esta (y s\'olo sobre la hipersuperficie $\Sigma_t$), $n^a$ y $\xi^a$ coincidan. \'esto implica que las derivadas de ambos campos en cualquier direcci\'on tangente a la hipersuperficie tambi\'en coinciden.

Por lo tanto, 
\begin{align}
K_{ab}&\equiv h_a\,^c \, \nabla_c n_b = h_a\,^c\,  \nabla_c \xi_b = B_{ab}|_{\Sigma_t},\label{Kext}
\end{align}
es un tensor sim\'etrico y tangente a $\Sigma_t$ al que se denomina curvatura extr\'inseca. $K_{ab}$ mide qu\'e tanto deja de ser ``normal'' el vector $n^a$ al transportarlo paralelamente sobre la hipersuperficie de un punto a otro punto cercano.

El tensor $K_{ab}$ contiene la informaci\'on sobre la evoluci\'on de la m\'etrica de una superficie a otra, ya que $2K_{ab}$ es precisamente la derivada de Lie$^{iv}$ de la m\'etrica inducida en la direcci\'on de $n^a$, es decir,
\begin{align}
K_{ab}&=\frac{1}{2}\Lie_n h_{ab}.\label{Liehab}
\end{align}

\section{Operadores derivada} \label{OpsDeriv}

\noindent
Como se mencion\'o anteriormente, a la m\'etrica inducida sobre $\Sigma_t$ est\'a asociada una derivada $D_c$ que cumple con el requisito de compatibilidad m\'etrica con $h_{ab}$, Ec. \eqref{CompMetDh}. Esta derivada est\'a dada por la expresi\'on
\begin{align}
D_c T^{a_{k-1} \dots a_0}\,_{b_{l-1} \dots b_0} &\equiv h^{a_{k-1}}\,_{a'_{k-1}} \cdots h^{a_0}\,_{a'_0} 
\nonumber \\&
 \cdot h_{b_{l-1}}\,^{b'_{l-1}} \cdots h_{b_0}\,^{b'_0} 
\nonumber\\ &
\cdot h_c\,^{c'} \nabla_{c'} T^{a'_{k-1} \dots a'_0}\,_{b'_{l-1} \dots b'_0} 
\nonumber \\&
= h^{a_{I_k}}\,_{a'_{I_k}}h_{b_{I_l}}\,^{b'_{I_l}}h_c\,^{c'} \nabla_{c'} T^{a'_{I_k}}\,_{b'_{I_l}} 
\nonumber\\&
= \,^0\left(\nabla_c T^{a_{k-1} \dots a_0}\,_{b_{k-1} \dots b_0}\right). \label{DerivadaInducida}
\end{align}

N\'otese que $D_a$ no es una derivada covariante del espaciotiempo, pues s\'olo se comporta como derivada cuando act\'ua sobre campos tensoriales tangentes a la hipersuperficie, ya que para campos tensoriales que no son tangentes a $\Sigma_t$, en general no  cumple con la regla de Leibniz, puesto que el campo tensorial resultante siempre es tangente a $\Sigma_t$. Por ejemplo, al actuar sobre $n_a \tilde{\omega}_b$, se tiene
\begin{align*}
D_c (n_a \tilde{\omega}_b)&= h_a\,^{a'} h_b\,^{b'} h_c\,^{c'} \nabla_{c'} \left( n_{a'} \tilde{\omega}_{b'}\right)\\
&= K_{ca}\tilde{\omega}_{b} \neq (D_c n_a )\tilde{\omega}_b + n_a D_c \tilde{\omega}_b.
\end{align*}

Esta derivada codifica la componente tangente de la variaci\'on de un tensor ante desplazamientos en una direcci\'on tangente a la hipersuperficie, es decir, contiene la informaci\'on disponible sobre la variaci\'on del tensor en t\'erminos de datos sobre la hipersuperficie. 

N\'otese que $K_{ab}$ es justamente la derivada de $n^a$ asociada a la m\'etrica inducida, es decir,
\begin{equation}
K_{ab} = D_a n_b = D_b n_a = D_{(a}n_{b)}. \label{KDn}
\end{equation}

La descomposici\'on 3+1 de la derivada covariante de una funci\'on escalar se puede expresar haciendo uso de la derivada reci\'en definida mediante la Ec. \eqref{Separa1Forma}, quedando
\begin{align}
\nabla_a f &= D_a f + n_a \dbar f, \label{Df}
\end{align}
donde 
\begin{equation}
\dbar \equiv -n^a \nabla_a. \label{dbar}
\end{equation}
El operador $\dbar$ no es m\'as que un ``atajo'' definido por conveniencia debido a la frecuencia con que en este formalismo aparece la derivada en la direcci\'on normal $n^a \nabla_a$.

Al aplicar $\dbar$ a un tensor tangente, este no permanece tangente, por lo que es necesario volver a desarrollar sus proyecciones para recuperar una expresi\'on $3+1$. Se utilizar\'a el s\'imbolo $\widetilde{\dbar}$ para indicar que despu\'es de aplicar $\dbar$, el tensor resultante se proyecta sobre $\Sigma_t$, es decir
\begin{equation}
\widetilde{\dbar} T_{a_{l-1}\dots a_0} \equiv h_{a_{l-1}}\,^{a'_{l-1}} \cdots h_{a_0}\,^{a'_0} \dbar T_{a'_{l-1}\dots a'_0}.
\end{equation}
En general, $\dbar T_{a_{l-1} \dots a_0}$ se puede separar en $2^l$ proyecciones con componentes tangentes $\,^m(\dbar T_{a_{l-1}\dots a_0})$.

Esta derivada est\'a directamente relacionada con la derivada de Lie bajo el flujo de $n^a$, $\Lie_n$, cuesti\'on que se aborda en el Ap\'endice \ref{ApendiceLie}.

Finalmente, siempre es posible realizar la sustituci\'on
\begin{equation}
\nabla_a = h_a\,^{a'} \nabla_a + n_a \dbar, \label{Nabla3p1}
\end{equation}
que constituye informalmente la \textit{descomposici\'on} $3+1$ \textit{del \'indice} de la derivada covariante, pero es importante enfatizar que el segundo t\'ermino del lado derecho todav\'ia debe desarrollarse en forma $3+1$ sobre sus dem\'as \'indices cuando se aplica a un tensor para tener una expresi\'on $3+1$, que ser\'a el tema de la siguiente secci\'on.

\section{Separaci\'on 3+1 de las derivadas de tensores.} \label{3p1Derivs}

\noindent
En esta secci\'on se desarrolla la descomposici\'on $3+1$ de la derivada covariante de un tensor $T_{a_{l-1}\dots a_0}$. Ya que aparece con frecuencia, es conveniente definir el siguiente campo tangente$^{v}$ a $\Sigma_t$,
\begin{align}
u_a \equiv \dbar n_a &= - n^b\nabla_b n_a,
\end{align}
de modo que la derivada covariante de $n^a$ queda expresada en forma $3+1$ como
\begin{align}
\nabla_a n_b &= K_{ab} + n_a u_b. \label{Dn}
\end{align}

El campo vectorial $u^a$ aparece en referencias como \cite{AlcubierreNumerical} y \cite{3p1Gourgoulhon}, generalmente en t\'erminos de la derivada del logaritmo de la funci\'on Lapse$^{vi}$,
\begin{equation}
u_a = -D_a \ln N , \label{DLnN}
\end{equation}
o de la propia derivada de Lie de $n$, ya que se puede mostrar$^{vii}$ que 
\begin{equation}
u_a = -\Lie_n n_a. \label{LieN}
\end{equation}
F\'isicamente, $u^a$ puede interpretarse (salvo por un signo$^{viii}$) como la 4-aceleraci\'on de una familia de observadores, como se muestra en el Ap\'endice \ref{eulerianos}. 

La derivada covariante de un tensor arbitrario incluye informaci\'on tanto de la variaci\'on del tensor como de la curvatura del espaciotiempo, as\'i que su expresi\'on general en el formalismo $3+1$ debe incluir la derivada de la m\'etrica inducida, es decir, la curvatura extr\'inseca, adem\'as de la propia variaci\'on del tensor sobre la hipersuperficie. Por este motivo, es necesario primero descomponer en forma $3+1$ la derivada covariante de la m\'etrica inducida,
\begin{align}
\nabla_a h_{bc} &= 2 \left[ K_{a(b} n_{c)} + n_a n_{(b} u_{c)} \right], \label{Dhab}
\end{align}
as\'i como la del proyector $h_a\,^{a'}$,
\begin{align}
\nabla_b h_{a}\,^{a'} &= n_a K_b\,^{a'} + n_b n_a u^{a'} \nonumber \\
&\quad + K_{ba} n^{a'} + n_b u_a n^{a'}. \label{Dproy}
\end{align}

A partir de la descomposici\'on $3+1$ de un tensor $T_{a_{l-1} \dots a_0}$, Ec. \eqref{ProyeccionGral3p1}, se hace patente que primero es necesario expresar la derivada covariante de $n_{a_{\zeta_m}}=n_{a_{z_1}} n_{a_{z_2}} \cdots n_{a_{z_s}}$ en forma $3+1$. Aplicando la regla de Leibniz y la expresi\'on \eqref{Dn} se obtiene
\begin{align}
\nabla_{a_{l}} n_{a_{\zeta_m}}&= \sum_{k\in \zeta_m} n_{a_{\zeta_m-\{k\}}} \Big[\underbrace{K_{a_{l} a_k}}_{m-2^{k}} + n_{a_{l}}\!\!\!\underbrace{u_{a_k}}_{m+2^l-2^{k}} \!\!\!\Big]. \label{Dcovnn}
\end{align}
Las etiquetas de las componentes de proyecci\'on resultantes indican, para el primer t\'ermino dentro del par\'entesis, que el $k-$\'esimo \'indice, que antes era \textit{normal}, ahora es tangente y por lo tanto corresponde a la componente de proyecci\'on con etiqueta $m'=\sum_{\kappa\in \zeta_m-\{k\}} 2^{\kappa}= m-2^k$, y para el segundo t\'ermino ocurre lo mismo, salvo que en este caso, el \'indice que acompa\~na a la derivada covariante en la posici\'on $l$ ahora es normal y por ende se agrega $2^l$ a la etiqueta de la componente.

Como adem\'as, cada componente de proyecci\'on es tangente, \'estas se pueden desarrollar, redundantemente, como
\begin{align}
\,^m T_{a_{Y^l_m}} &= h_{a_{Y^l_m}}\,^{a'_{Y^l_m}} \,^mT_{a'_{Y^l_m}} \nonumber\\
&= h_{a_{y_1}}\,^{a'_{y_1}} \cdots h_{a_{y_s}}\,^{a'_{y_s}} \,^mT_{a'_{y_1}\cdots a'_{y_s}}.
\end{align}

\end{multicols}




El motivo para realizar este desarrollo es que permite obtener autom\'aticamente una expresi\'on $3+1$ al aplicar la derivada covariante a $\,^m T_{a_{Y^l_m}}$, pues a partir de \eqref{Dproy}, y aplicando la regla de Leibniz, se obtiene
\begin{align}
\nabla_{a_l} \,^m T_{a_{Y^l_m}} & = \,^mT_{a'_{Y^l_m}} (\nabla_{a_{l}} h_{a_{Y^l_m}}\,^{a'_{Y^l_m}} ) 
 + h_{a_{Y^l_m}}\,^{a'_{Y^l_m}} \nabla_{a_l} \,^mT_{a_{Y^l_m}}
\na
= \sum_{k\in Y^l_m} n_{a_k}\Big( \underbrace{K_{a_{l}}\,^{a_k} \,^mT_{a_{Y^l_m}} }_{m+2^k} + n_{a_{l}} \underbrace{u^{a_k}\,^mT_{a_{Y^l_m}}}_{m+2^{k}+2^l}\Big)
 + \underbrace{D_{a_l}\,^m T_{a_{Y^l_m}}}_m + n_{a_l}\underbrace{\tilde{\dbar}\,^m T_{a_{Y^l_m}}}_{m+2^l},\label{Dcovhh}
\end{align}
donde los t\'erminos de la segunda l\'inea de \eqref{Dproy} se han cancelado en cada t\'ermino puesto que los \'indices primados van contra\'idos con el tensor tangente $\,^mT_{a'_{Y^l_m}}$, y se ha empleado la sustituci\'on \eqref{Nabla3p1}. 

A continuaci\'on se sintetiza el procedimiento de escribir la derivada covariante de un tensor arbitrario en forma $3+1$. Al calcular la derivada covariante de la expansi\'on $3+1$ general, Ec. \eqref{ProyeccionGral3p1}, se tendr\'a
\begin{align}
\nabla_{a_{l}}T_{a_{I_l}} = \nabla_{a_{l}} \left[ \sum_{m=0}^{2^l-1} n_{a_{\zeta_m}} \,^{m}T_{a_{Y^l_m}}\right]
=\sum_{m=0}^{2^l-1} \Big[ (\nabla_{a_{l}} n_{a_{\zeta_m}}) \,^{m}T_{a_{Y^l_m}} 
+ n_{a_{\zeta_m}} \nabla_{a_l} \,^m T_{a_{Y^l_m}} \Big], \label{CasiDT}
\end{align}
y sustituyendo \eqref{Dcovnn} y \eqref{Dcovhh} en \eqref{CasiDT} se obtiene
\begin{align*}
\nabla_{a_{l}}T_{a_{I_l}} &= \sum_{m=0}^{2^l-1} \Bigg\lbrace \sum_{k\in \zeta_m} n_{a_{\zeta_m-\{k\}}} \Big[\underbrace{K_{a_{l} a_k}\,^{m}T_{a_{Y^l_m}}}_{m-2^{k}} 
+ n_{a_{l}} \underbrace{u_{a_k}\,^{m}T_{a_{Y^l_m}}}_{m+2^l-2^{k}} \Big] + n_{a_{\zeta_m}} \Big[ \sum_{k\in Y^l_m} n_{a_k} 
\Big( \underbrace{K_{a_{l}}\,^{a_k} \,^mT_{a_{Y^l_m}} }_{m+2^k} + n_{a_{l}} \underbrace{u^{a_k}\,^mT_{a_{Y^l_m}}}_{m+2^{k}+2^l}\Big)
\na + \underbrace{D_{a_l}\,^m T_{a_{Y^l_m}}}_m + n_{a_l}\underbrace{\tilde{\dbar}\,^m T_{a_{Y^l_m}}}_{m+2^l}  \Big] \Bigg\rbrace,
\end{align*}
donde al reagrupar los t\'erminos por componente queda finalmente la expresi\'on
\begin{align}
\!\nabla_{a_{l}}T_{a_{I_l}}\! &=  \sum_{m=0}^{2^{l+1}-1}\!\! n_{a_{\zeta_m}} \Bigg\lbrace \! D_{a_l} \!\,^m T_{a_{Y^l_m}}\! +\! \tilde{\dbar}\!\,^{m-2^l} T_{a_{Y^l_{m-2^l}}}
 +\sum_{k\in \zeta_m\cap I_l} \Big(K_{a_{l}}\,^{a_k} \,^{m-2^k}T_{a_{Y^l_{m-2^k}}}
+ u^{a_k}\,^{m-2^k-2^l}T_{a_{Y^l_{m-2^k-2^l}}}\Big) 
 \nonumber\\&  
+ \sum_{k\in Y^{l}_m} \Big( K_{a_{l} a_k}\,^{m+2^k}T_{a_{Y^{l}_{m+2^k}}}
+ u_{a_k}\,^{m+2^k-2^l}T_{a_{Y^l_{m+2^k-2^l}}} \Big)\Bigg\rbrace.  \label{D3p1}
\end{align}




La f\'ormula \eqref{D3p1} se puede aplicar, por ejemplo, para calcular la derivada de un covector. Para ello, se calcula cada componente de proyecci\'on por separado, 
\begin {align}
\,^0\left(\nabla_{a_1} \omega_{a_0}\right) &= D_{a_1} \!\underbrace{\,^0 \omega_{a_{Y^1_0}}}_{\,^0\omega_{a_0}=\tilde{\omega}_{a_0}}\! + \tilde{\dbar}\!(\underbrace{\,^{-2^1} \omega_{a_{Y^1_{-2^1}}}}_0)
% \\&\quad 
+\sum_{k\in \zeta_0\cap I_1=\emptyset} \Big(K_{a_1}\,^{a_k} \,^{-2^k}\omega_{a_{Y^1_{-2^k}}}
%\\&\quad\qquad
\underbrace{\qquad+ u^{a_k}\,^{-2^k-2^1}\omega_{a_{Y^1_{-2^k-2^1}}}\Big)}_0 
\na
+ \sum_{k\in Y^1_0=\{0\}} \Big( \underbrace{K_{a_{1} a_k}}_{K_{a_1 a_0}}\underbrace{\,^{2^k}\omega_{a_{Y^1_{2^k}}}}_{\,^{1}\omega_{a_{Y^1_{1}}}=\omega_{\bot}}
%\\ &\qquad 
+ \underbrace{u_{a_k}}_{u_{a_0}}\underbrace{\,^{2^k-2^1}\omega_{a_{Y^1_{2^k-2^1}}}}_{\,^{-1}\omega_{a_{Y^1_{-1}}}=0} \Big)
\no
\,^0\left(\nabla_{a_1} \omega_{a_0}\right) & = D_{a_1}\tilde{\omega}_{a_0} +K_{a_1 a_0}\omega_{\bot}, \label{0Daw}
\end{align}

\begin {align}	
\,^1\left(\nabla_{a_1} \omega_{\cancel{a_0}}\right) &= D_{a_1} \!\underbrace{\,^1 \omega_{a_{Y^1_1}}}_{\omega_\bot} + \tilde{\dbar} (\underbrace{\,^{-1} \omega_{a_{Y^1_{-1}}}}_0) 
+\sum_{k\in \zeta_1\cap I_1=\{0\}} \Big(\underbrace{K_{a_{1}}\,^{a_k}}_{K_{a_{1}}\,^{a_0}} \underbrace{\,^{1-2^k}\omega_{a_{Y^1_{1-2^k}}}}_{\,^{0}\omega_{a_{Y^1_0}}=\widetilde{\omega}_{a_0}}
+ \underbrace{u^{a_k}}_{u^{a_0}}\underbrace{\,^{-2^k-1}\omega_{a_{Y^1_{-2^k-1}}}}_0\Big)  
\na
 + \sum_{k\in Y^1_1=\emptyset} \Big( K_{a_{1} a_k}\,^{1+2^k}\omega_{a_{Y^1_{1+2^k}}}
\underbrace{+ u_{a_k}\,^{2^k-1}\omega_{a_{Y^1_{2^k-1}}} \Big)\qquad \qquad }_0
\no
\,^1\left(\nabla_{a_1} \omega_{\cancel{a_0}}\right) 
 & = D_{a_1} \omega_\bot + K_{a_{1}}\,^{a_0'} \widetilde{\omega}_{a_0'},
\end{align}

\begin{align}	
\,^2\left(\nabla_{\cancel{a_1}} \omega_{a_0}\right) &= D_{a_1} \underbrace{\,^2 \omega_{a_{Y^1_2}}}_0 +  \tilde{\dbar} \underbrace{\,^{2-2^1} \omega_{a_{Y^1_{2-2^1}}}}_{\widetilde{\omega}_{a_0}} 
+\sum_{k\in \zeta_2\cap I_1=\emptyset} \Big(K_{a_{1}}\,^{a_k} \,^{2-2^k}\omega_{a_{Y^1_{2-2^k}}}
\underbrace{\qquad\qquad+ u^{a_k}\,^{-2^k}\omega_{a_{Y^1_{-2^k}}}\Big)\qquad}_0  
\na
+ \sum_{k\in Y^1_2=\{0\}} \Big( \underbrace{K_{a_{1} a_k}}_{K_{a_{1} a_0}}\underbrace{\,^{2+2^k}\omega_{a_{Y^1_{2+2^k}}}}_0 
+ \underbrace{u_{a_k}}_{u_{a_0}}\underbrace{\,^{2^k}\omega_{a_{Y^1_{2^k}}}}_{\omega_{\bot}} \Big)
\,^2\left(\nabla_{\cancel{a_1}} \omega_{a_0}\right)= \tilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{a_0}+u_{a_0}\omega_{\bot},
\end{align}



\begin{align}	
\,^3\left(\nabla_{\cancel{a_1}} \omega_{\cancel{a_0}}\right) &= D_{a_1}  \underbrace{\,^3 \omega_{a_{Y^1_3}}}_0  + \tilde{\dbar} \underbrace{\,^{1} \omega_{a_{Y^1_{1}}}}_{\omega_{\bot}} 
+\sum_{k\in \zeta_3\cap I_1=\{0\}} \Big(\underbrace{K_{a_{1}}\,^{a_k}}_{K_{a_{1}}\,^{a_0}} \underbrace{\,^{3-2^k}\omega_{a_{Y^1_{3-2^k}}}}_0
+ \underbrace{u^{a_k}}_{u^{a_0}}\underbrace{\,^{1-2^k}\omega_{a_{Y^1_{1-2^k}}}}_{\widetilde{\omega}_{a_0}}\Big) 
\na
+ \sum_{k\in Y^1_3=\emptyset} \Big( K_{a_{1} a_k}\,^{3+2^k}\omega_{a_{Y^1_{3+2^k}}}
\underbrace{\quad + u_{a_k}\,^{1+2^k}\omega_{a_{Y^1_{1+2^k}}} \qquad \Big)}_0
\,^3\left(\nabla_{\cancel{a_1}} \omega_{\cancel{a_0}}\right) = \tilde{\dbar}\omega_{\bot} + u^{a_0'}\widetilde{\omega}_{a_0'}. \label{3Daw}
\end{align}

En estas expresiones, las componentes de proyecci\'on se muestran con los \'indices normales cancelados en el lado izquierdo para mantener la consistencia de la notaci\'on a ambos lados de la igualdad. Finalmente, al realizar la suma de los t\'erminos \eqref{0Daw}-\eqref{3Daw} de acuerdo con la expresi\'on \eqref{D3p1}, se obtiene la descomposici\'on $3+1$ de la derivada covariante de un covector,
\begin{align}
\nabla_{a_1} \omega_{a_0} &= \,^0\left(\nabla_{a_1} \omega_{a_0}\right) + n_{a_0} \,^1\left(\nabla_{a_1} \omega_{\cancel{a_0}}\right)
+ n_{a_1} \,^2\left(\nabla_{\cancel{a_1}} \omega_{a_0}\right) + n_{a_1} n_{a_0} \,^3\left(\nabla_{\cancel{a_1}} \omega_{\cancel{a_0}}\right) 
= D_{a_1} \widetilde{\omega}_{a_0} + K_{a_1 a_0} \omega_\bot 
\na
+ n_{a_0}\left(D_{a_1} \omega_\bot + K_{a_1}\,^{a'_0} \, \widetilde{\omega}_{a'_0}\right)
+ n_{a_1} \left(\widetilde{\dbar}\widetilde{\omega}_{a_0} + u_{a_0} \omega_\bot \right) 
+ n_{a_1} n_{a_0}\left(\dbar\omega_\bot + u^{a'_0} \widetilde{\omega}_{a'_0}\right). \label{Dw}
\end{align}

Utilizando este mismo procedimiento para un tensor de rango $(0,2)$, se obtiene la 
descomposici\'on $3+1$ de $\nabla_{a_2} T_{a_{1}a_{0}}$,
\begin{align}
\nabla_{a_2} T_{a_1a_0}&= \,^0(\nabla_{a_2} T_{a_1a_0}) +  n_{a_0}\,^1(\nabla_{a_2} T_{a_1\cancel{a_0}})
+ n_{a_1} \,^2(\nabla_{a_2} T_{\cancel{a_1} a_0})  
+ n_{a_1} n_{a_0} \,^3(\nabla_{a_2} T_{\cancel{a_1} \cancel{a_0}})  
+ n_{a_2} \,^4(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{a_1a_0}) 
\na
+ n_{a_2} n_{a_0} \,^5(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{a_1\cancel{a_0}})  
+ n_{a_2} n_{a_1} \,^6(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{\cancel{a_1} a_0})
+ n_{a_2} n_{a_1} n_{a_0} \,^7(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{\cancel{a_1} \cancel{a_0}}), \label{DcovT02}
\end{align}
donde sus componentes de proyecci\'on son
\begin{align}
\,^0(\nabla_{a_2} T_{a_1a_0}) &= 
D_{a_2}\widetilde{T}_{a_1a_0} + K_{a_2 a_0}\grave{\widetilde{\tau}}_{a_1} + K_{a_2 a_1} \acute{\widetilde{\tau}}_{a_0},
\\
\,^1(\nabla_{a_2} T_{a_1\cancel{a_0}}) &= 
K_{a_2}\,^{a_0'} \widetilde{T}_{a_1a_0'} + D_{a_2}\grave{\widetilde{\tau}}_{a_1} + K_{a_2 a_1} T_\bot,
\\
\,^2(\nabla_{a_2} T_{\cancel{a_1} a_0}) &=
K_{a_2}\,^{a_1'} \widetilde{T}_{a_1'a_0} + D_{a_2} \acute{\widetilde{\tau}}_{a_0} + K_{a_2 a_0} T_\bot ,
\\
\,^3(\nabla_{a_2} T_{\cancel{a_1} \cancel{a_0}}) &= 
K_{a_2}\,^{a_1'}  \grave{\widetilde{\tau}}_{a_1'} + K_{a_2}\,^{a_0'} \acute{\widetilde{\tau}}_{a_0'} + D_{a_2} T_\bot ,
\\
\,^4(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{a_1a_0}) &= \widetilde{\dbar}\widetilde{T}_{a_1a_0} + \grave{\widetilde{\tau}}_{a_1} u_{a_0} + u_{a_1} \acute{\widetilde{\tau}}_{a_0} ,
\\
\,^5(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{a_1\cancel{a_0}}) &= u^{a_0'} \widetilde{T}_{a_1a_0'} + \widetilde{\dbar} \grave{\widetilde{\tau}}_{a_1} + u_{a_1} T_\bot ,
\\
\,^6(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{\cancel{a_1} a_0}) &= u^{a_1'} \widetilde{T}_{a_1'a_0} + \widetilde{\dbar} \acute{\widetilde{\tau}}_{a_0} + u_{a_0} T_\bot , 
\\
\,^7(\nabla_{\cancel{a_2}} T_{\cancel{a_1} \cancel{a_0}}) &= u^{a_1'} \grave{\widetilde{\tau}}_{a_1'} + u^{a_0'} \acute{\widetilde{\tau}}_{a_0'} + \dbar T_\bot.
\end{align}
Aqu\'i se ha empleado la notaci\'on de las Ecs. \eqref{Separa02}-\eqref{Tbot} para las componentes de proyecci\'on de $T_{a1 a_0}$.

En la siguiente secci\'on se emplear\'a el formalismo hasta aqu\'i desarrollado para calcular los tensores de Riemann y Ricci del espaciotiempo en t\'erminos de los tensores de Riemann y Ricci sobre la hipersuperficie, as\'i como la m\'etrica inducida, el tensor de curvatura extr\'inseca y el campo de vectores normales y sus derivadas. 






\section{Tensores de curvatura y ecuaci\'on de Einstein}
\subsection{Tensor de Riemann}

\noindent
El tensor de curvatura de Riemann $R_{abc}\,^d$ se define \cite{WaldGR} en t\'erminos de su acci\'on sobre un campo de covectores $\omega_d$ como
\begin{equation}
R_{a b c}\,^d \, \omega_d = \nabla_a \nabla_b \, \omega_c - \nabla_b \nabla_a \, \omega_c.
\end{equation}

\begin{multicols}{2}

Este tensor caracteriza la curvatura de una variedad en el sentido de que su anulacion en cualquier regi\'on del espaciotiempo es condici\'on necesaria y suficiente para la existencia de coodenadas en las que la metrica toma la forma  minkowskiana (es decir, $\eta=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$) en esa regi\'on\cite{richtmyer1981}, o en otras palabras, que el espaciotiempo en cualquier regi\'on es \textit{plano} si y solo si en ella se anula el tensor de Riemann.



Tomando en cuenta que se est\'a empleando la conexi\'on m\'etrica sin torsi\'on, este tensor cumple con las siguientes propiedades,
\begin{align}
R_{abc}\,^d &= -R_{bac}\,^d, \label{PRiem1}\\
R_{[abc]}\,^d &= 0 , \label{PRiem2}\\
R_{abcd} &=-R_{abdc} , \label{PRiem3}\\
\nabla_{[a} \, R_{bc]d}\,^e &= 0 ,\label{Bianchi}
\end{align}
donde a \eqref{Bianchi} se le denomina identidad de Bianchi. A partir de estas propiedades, tambi\'en se puede derivar la siguiente simetr\'ia para el tensor de Riemann covariante,
\begin{equation}
R_{abcd}=R_{cdab}. \label{SimetriaRiemann}
\end{equation}

El procedimiento que se emplear\'a para expresar el tensor de Riemann en forma $3+1$ a partir de su definici\'on, ser\'a el siguiente:
\begin{enumerate}
	\item Expresar en forma $3+1$ al tensor $B_{bcd}\equiv \nabla_b \nabla_c \, \omega_d$, donde $\omega_d$ es un covector arbitrario.
	\item Antisimetrizar $B_{bcd}$ sobre los \'indices $b$ y $c$, de modo que se tiene 
	\begin{equation}
	R_{bcd}\,^e \omega_e = 2 B_{[bc]d}. \label{RiemVsB}
	\end{equation}
	\item Considerando los casos en que $\omega_e$ es tangente a $\Sigma_t$ (es decir, cuando $\omega_{\bot}=0$) y cuando es ortogonal (es decir, cuando $\widetilde{\omega}_e=0$), se obtiene de las expresiones de las componentes de proyecci\'on de \eqref{RiemVsB}, la forma de algunas componentes del tensor de Riemann $R_{bcd}\,^e$.
	\item El resto de las componentes se obtienen a partir de las propiedades y simetr\'ias del tensor de Riemann \eqref{PRiem1}-\eqref{SimetriaRiemann}.
\end{enumerate}
A continuaci\'on se detallan cada uno de estos pasos.

 Retornando a la notaci\'on de \'indices usual$^{ix}$, la expresi\'on para $\nabla_c \omega_d$ est\'a dada por \eqref{Dw}, y sustituyendo la expresi\'on para las componentes de este tensor en \eqref{DcovT02}, se obtienen las componentes de proyecci\'on de $B_{bcd}\equiv \nabla_b \nabla_c \omega_d$,
\begin{align}
\,^0(B_{bcd}) &= D_b D_c \widetilde{\omega}_d +( D_b \omega_\bot) K_{cd} \nonumber\\
& + \omega_\bot D_b K_{cd} + K_{bd} K_c\,^{d'} \widetilde{\omega}_{d'}\nonumber\\
&  + K_{bd} D_c \omega_\bot + K_{bc}\widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d} 
+K_{bc} u_d \omega_\bot ,
\\
\,^1(B_{bc}) &= K_b\,^{d'} D_c \widetilde{\omega}_{d'} + K_b\,^{d'}K_{cd'}\omega_\bot\nonumber\\
& + \widetilde{\omega}_{d'} D_b K_c\,^{d'} + (D_b \widetilde{\omega}_{d'}) K_c\,^{d'} \nonumber\\
& + D_b D_c \omega_\bot + K_{bc}  (u^{d'} \widetilde{\omega}_{d'} + \dbar \omega_\bot),
\\
\,^2(B_{bd}) &= K_b\,^{c'} D_{c'} \widetilde{\omega}_{d} + K_b\,^{c'} K_{c'd} \omega_\bot + D_b \widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d}\nonumber\\
&  + (D_b \omega_\bot) u_d+ \omega_\bot D_b u_d + K_{bd}\dbar \omega_\bot,
\\
\,^3(B_b) &= K_b\,^{c'} K_{c'}\,^{d'} \widetilde{\omega}_{d'} + K_b\,^{c'}D_{c'} \omega_\bot\nonumber\\
& + K_b\,^{d'} \widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d'} + \omega_\bot K_b\,^{d'} u_{d'} \nonumber\\
&+ u^{d'}D_b \widetilde{\omega}_{d'} + \widetilde{\omega}_{d'} D_b u^{d'} + D_b \dbar \omega_\bot,
\\
\,^4(B_{cd}) &= \widetilde{\dbar} D_{c} \widetilde{\omega}_{d} + K_{cd} \dbar \omega_\bot  \nonumber\\
&  + \omega_\bot \widetilde{\dbar} K_{c'd'}+  K_c\,^{d'} \widetilde{\omega}_{d'}u_d \nonumber\\
&  + (D_c \omega_\bot) u_d + u_c \widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d} + \omega_\bot u_c u_d , 
\\
\,^5(B_c) &=  u^{d'} D_c \widetilde{\omega}_{d'} + \omega_\bot K_{cd'} u^{d'} \nonumber\\
& + \widetilde{\omega}_{d'}\widetilde{\dbar} K_{c}\,^{d'} +K_c\,^{d'} \widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d'} \nonumber\\
& + \widetilde{\dbar} D_{c'} \omega_\bot + u_c (u^{d'} \widetilde{\omega}_{d'} + \dbar \omega_\bot),
\\
\,^6(B_d) &=u^{c'} D_{c'} \widetilde{\omega}_d + \omega_\bot K_{c'd} u^{c'}\nonumber\\
& +\widetilde{\dbar}^2 \widetilde{\omega}_{d'} + u_d \dbar \omega_\bot \nonumber\\
& + \omega_\bot \widetilde{\dbar} u_{d}+ u_d (u^{d'} \widetilde{\omega}_{d'} + \dbar \omega_\bot),
\\
\,^7(B) &= K_{c'}\,^{d'} u^{c'}\widetilde{\omega}_{d'} + u^{c'} D_{c'} \omega_\bot+ u^{d'}\widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d'}\nonumber\\
&  + \omega_\bot u^{d'}u_{d'}+u^{d'} \widetilde{\omega}_{d'}+ \dbar \omega_\bot.
\end{align}

El siguiente paso es antisimetrizar los primeros dos \'indices de $B_{bcd}$, en donde todas las proyecciones que son simult\'aneamente normales a $\Sigma_t$ en los \'indices $b$ y $c$ se anulan, quedando el desarrollo $3+1$ de $B_{[bc]d}$ como
\begin{align}
B_{[bc]d}&= \widetilde{B}_{[bc]d}  + \,^1 B_{[bc]} n_d + n_{[b} \,^4 B_{c]d} \nonumber\\
& - n_{[b} \,^2 B_{c]d}+(n_{[b} \,^5 B_{c]} -n_{[b}\,^3 B_{c]} )n_d,
\end{align}
siendo las componentes de proyecci\'on relevantes,
\begin{align}
\,^0B_{[bc]d} &= \frac{1}{2} \,^{(3)}R_{bcd}\,^e \widetilde{\omega}_e + \omega_\bot D_{[b} K_{c]d} \nonumber \\
& + K_{d[b} K_{c]}\,^{d'} \widetilde{\omega}_{d'}, \label{0Bbcd}
\\
\,^1 B_{[bc]} &= K_{[b}\,^{d'}K_{c]d'}\omega_\bot+ \widetilde{\omega}_{d'} D_{[b} K_{c]}\,^{d'}\nonumber\\
& + D_{[b} D_{c]} \omega_\bot,
\end{align}
\begin{align}
\,^4 B_{cd}- \,^2 B_{cd} &= \widetilde{\dbar} D_{c} \widetilde{\omega}_{d} - D_c \widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d}+ u_c \widetilde{\dbar} \widetilde{\omega}_{d}\nonumber\\
& +  K_c\,^{d'}( \widetilde{\omega}_{d'}u_d -D_{d'} \widetilde{\omega}_{d} )\nonumber\\
& + \omega_\bot (\widetilde{\dbar} K_{cd} - D_c u_d) \nonumber\\
& + \omega_\bot (u_c u_d - K_c\,^{c'} K_{c'd} ),
\\
\,^5 B_{c} -\,^3 B_{c} &=\widetilde{\omega}_{d'} (\widetilde{\dbar} K_{c}\,^{d'} - D_c u^{d'}) \nonumber\\
& + \widetilde{\dbar} D_{c} \omega_\bot - D_c \dbar \omega_\bot\nonumber \\
& + (u_c u^{d'} -K_c\,^{c'} K_{c'}\,^{d'})\widetilde{\omega}_{d'}\nonumber\\
&  +u_c \dbar \omega_\bot - K_c\,^{c'}D_{c'} \omega_\bot. \label{5Bbcd}
\end{align}
donde $\,^{(3)}R_{bcd}\,^e$ es el tensor de Riemann correspondiente a la metrica inducida sobre la hipersuperficie, previamente definido en \eqref{Riemann3}. Las dem\'as componentes de proyecci\'on se obtienen de intercambiar \'indices y signos, a partir de estas componentes, de modo que se puede reescribir \eqref{RiemVsB} como
\begin{align}
R_{bcd}\,^e \omega_e &= \widetilde{B}_{bcd}-\widetilde{B}_{cbd}\nonumber\\
& + (\,^1 B_{bc}-\,^1 B_{cb}) n_d \nonumber\\
& + n_c (\,^2 B_{bd} -\,^4 B_{bd})\nonumber\\
& + (\,^3 B_{b} - \,^5 B_{b} ) n_{c} n_d \nonumber\\
& + n_{b} (\,^4 B_{cd}- \,^2 B_{cd})\nonumber\\
& +n_{b} (\,^5 B_{c} - \,^3 B_{c} )n_d . \label{Riemann3p1w}
\end{align}

Las componentes de proyecci\'on del tensor de Riemann ser\'an entonces,
\begin{align}
R_{bcd}\,^e &= \widetilde{R}_{bcd}\,^e + \,^1 R_{bcd} n^e + \,^2 R_{bc}\,^e n_d \nonumber\\ 
& + \,^3 R_{bc}n_d n\,^e + \,^4 R_{bd}\,^e n_c  \nonumber \\
&+ \,^5 R_{bd}n_c n^e + \,^6 R_b\,^e n_c n_d  \nonumber \\
& -  n_b (\,^4R_{cd}\,^e + \,^5R_{cd} n^e + \,^6R_c\,^e n_d), \label{Riemann3p1}
\end{align} 
notando que se trata de un tensor de rango $(1,3)$, por lo que para emplear las expresiones \eqref{0Bbcd}-\eqref{5Bbcd} considerando la etiqueta de componente que les asigna la expresi\'on \eqref{Riemann3p1w}, es necesario incrementar en uno el valor posicional de todas las componentes, re-etiquetando cada una de ellas de acuerdo con la regla
\begin{align*}
m&=\sum_{k\in \zeta_m} 2^k  &\rightarrow\quad  m'&= q + \sum_{k\in\zeta_m} 2^{k+1} ,
\end{align*}
donde $q=0$ \'o $q=1$ dependiendo de si $\omega_e$ es tangente u ortogonal a la superficie, respectivamente. Por ejemplo, tomando la componente de proyecci\'on $m=0$ de $B_{[bc]d}$, \eqref{0Bbcd}, se obtienen las componentes de proyecci\'on  $m'=0$ y $m'=1$. Expl\'icitamente, cuando el covector es tangente, $\omega_e = \widetilde{\omega}_e$ y $\omega_{\bot}=0$, al sustituir en \eqref{0Bbcd} se tiene
\begin{equation*}
\,^0\left(R_{bcd}\,^e \widetilde{\omega}_e\right) = 2\left(\frac{1}{2} \,^{(3)}R_{bcd}\,^e + K_{d[b} K_{c]}\,^{e} \right)\widetilde{\omega}_{e},
\end{equation*}
y de aqu\'i que, 
\begin{equation}
\,^0R_{bcd}\,^e = \,^{(3)}R_{bcd}\,^e + 2 K_{d[b} K_{c]}\,^{e}. \label{0Riem}
\end{equation}
N\'otese que esta ecuaci\'on se puede reescribir como
\begin{align}
\,^{(3)}R_{abc}\,^{d} &= \widetilde{R}_{abc}\,^{d}- K_{ac} K_b\,^d + K_{bc}K_a\,^d. \label{GC1}
\end{align}
A esta ecuaci\'on se le denomina primera relaci\'on de Gauss-Codacci, y relaciona al tensor de Riemann de la m\'etrica inducida sobre la hipersuperficie, que representa a la curvatura intr\'inseca de $\Sigma_t$, el tensor de curvatura extr\'inseca y el tensor de Riemann de la m\'etrica del espaciotiempo. 

Cuando el covector es ortogonal, $\widetilde{\omega}_e=0$, $\omega_e = n_e \omega_{\bot}$, y al sustituir en \eqref{0Bbcd} se obtiene 
\begin{align*}
h_{b}\,^{b'} h_{c}\,^{c'} h_{d}\,^{d'} R_{b'c'd'}\,^e (-n_e) \omega_{\bot} &\equiv \,^1 R_{bcd} \omega_{\bot}\\
&= -2 \left(D_{[b} K_{c]d}\right)\omega_\bot,
\end{align*}
de donde se lee
\begin{equation}
\,^1 R_{bcd} = D_c K_{bd}-D_{b}K_{cd}.
\end{equation}

Siguiendo un procedimiento an\'alogo para las dem\'as componentes de proyecci\'on de $B_{bcd}$, se obtienen las siguientes componentes de proyecci\'on del tensor de Riemann,
\begin{align}
\,^2 R_{bc}\,^e &= D_b K_c\,^e - D_c K_b\,^e,\\
\,^5R_{bd} &=\widetilde{\dbar} K_{bd} -D_b u_d + u_b u_d - K_b\,^{b'} K_{b'd},\\
\,^6R_{b}\,^e &= -\widetilde{\dbar} K_{b}\,^{e} + D_b u^e - u_b u^e + K_b\,^{b'} K_{b'}\,^e.\label{6Riem}
\end{align}

El \'ultimo paso es obtener las componentes de proyecci\'on faltantes a partir de las proyecciones \eqref{0Riem}-\eqref{6Riem}. Las componentes de proyecci\'on $\,^3 R_{bc}$ y $\,^7R_{b}$ se cancelan id\'enticamente debido a que las propiedades \eqref{PRiem1} y \eqref{SimetriaRiemann} implican para estas proyecciones la antisimetrizaci\'on de \'indices nulos. Asimismo, aplicado directamente la propiedad \eqref{SimetriaRiemann}, se obtiene la componente con etiqueta $m=4$,
\begin{equation}
\,^4 R_{bd}\,^e = h^{ef} \,^1 R_{dfb} = D^e K_{bd} - D_d K_b\,^e,
\end{equation}
y el resto de las componentes se pueden obtener a partir de la propiedad \eqref{PRiem1},
\begin{align}
\,^8 R_{cd}\,^e &= -\,^4 R_{cd}\,^e\\
\,^9 R_{cd} &= -\,^5R_{cd}\\
\,^{10} R_{c}\,^e &= -\,^6R_{c}\,^e\\
\,^{11} R_{c} &= - \,^7R_{c}=0. \label{11Riem}
\end{align}
Con esto concluye el desarrollo $3+1$ del tensor de Riemann, pues se han expresado todas las componentes de proyecci\'on presentes en \eqref{Riemann3p1}. Las componentes de proyecci\'on que no aparecen en \eqref{Riemann3p1} son id\'enticamente nulas debido a las simetr\'ias del tensor de Riemann.

\subsection{Tensor de Ricci y escalar de curvatura}

\noindent
A partir del desarrollo $3+1$ del tensor de Riemann, es directa la expresi\'on $3+1$ del tensor de Ricci,
\begin{equation}
R_{bd} = R_{bcd}\,^c, \label{Ricci}
\end{equation}
gracias a la f\'ormula \eqref{Traza0402}, 
\begin{align}
R_{b c d}\,^c &= \widetilde{R}_{b c d}\,^c -\,^{5}R_{b d} \nonumber\\
&  + n_{d}\left(\,^{2}R_{b c}\,^c -\,^{7}R_{b} \right)\nonumber\\
&  + n_{b}\left(\,^{8}R_{c d}\,^{c} -\,^{13}R_{d} \right)\nonumber\\
&  + n_{b}n_{d}\left(\,^{10}R_{c}\,^{c} -\,^{15}R_{\bot} \right).
\end{align}
Sustituyendo las expresiones \eqref{0Riem}-\eqref{11Riem}, se obtiene finalmente
\begin{align}
\widetilde{R}_{ab} &= \,^{(3)}R_{ab} + K_{ab} K -\widetilde{\dbar} K_{ab}  - u_a u_b + D_a u_b, \label{Ricc00}\\ 
\widetilde{\mathfrak{R}}_b &\equiv \,^1 R_{b}=\,^2R_{b} = D_b K - D_c K_b\,^c , \label{GC2} \\
R_\bot &= \dbar K - D_a u^a + u_a u^a - K_{ab} K^{ab}. \label{Ricc11}
\end{align}
A la Ec. \eqref{GC2} se les denomina segunda relaci\'on de Gauss-Codazzi porque relaciona el tensor de curvatura extr\'inseca de la hipersuperficie con el tensor de curvatura de Ricci del espaciotiempo.

Gracias a la f\'ormula \eqref{TrazaT02}, se obtiene inmediatamente una expresi\'on en t\'erminos de los objetos del formalismo $3+1$ para el escalar de curvatura de Ricci,
\begin{equation}
R\equiv R^a\,_a,
\end{equation}
es decir,
\begin{equation}
R= \,^{(3)}R + K^2 - 2u_a u^a + 2 D_a u^a -2\dbar K + K_{ab} K^{ab}. \label{EscalarCurvatura}
\end{equation}

\subsection{Ecuaci\'on de Einstein}

\noindent 
Considerando la descomposici\'on del tensor de Ricci, Ecs. \eqref{GC2}, \eqref{Ricc11}, \eqref{Ricc00}, y del escalar de curvatura, \eqref{EscalarCurvatura}, se puede expresar el tensor de Einstein
\begin{equation}
G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2} g_{ab} R,
\end{equation}
en forma $3+1$,
\begin{align}
\widetilde{G}_{ab} &= \,^{(3)}G_{ab} + K \left(K_{ab} - \frac{1}{2}h_{ab} K\right) \nonumber\\
& + h_{ab} \left( u_c u^c - D_c u^c- \frac{1}{2} K_{cd} K^{cd}  \right) 
\na
+ D_a u_b -u_a u_b,\label{0Einstein}
\\
\widetilde{\mathfrak{G}}_a &= D_a K - D_b K_a\,^b,
\\
G_\bot &= \frac{1}{2}\left(\,^{(3)}R + K^2 - K_{ab} K^{ab}\right).\label{3Einstein}
\end{align}
Suponiendo que la separaci\'on $3+1$ para el tensor momento energ\'ia es de la forma, 
\begin{align*}
T_{ab}= S_{ab} + j_{(a} n_{b)} + n_a n_b \rho,
\end{align*}
donde $S_{ab}$, $j_a$ y $\rho$ son respectivamente el tensor de esfuerzos, el vector de flujo de densidad de momento y la densidad de energ\'ia de la materia en el marco de los observadores Eulerianos$^x$, 
se tiene que la ecuaci\'on de Einstein 
\begin{equation}
G_{ab} = 8\pi G_N T_{ab}, \label{Einstein}
\end{equation}
equivale a las ecuaciones
\begin{align}
8\pi G_N S_{ab} &= \,^{(3)}G_{ab} + K \left(K_{ab} - \frac{1}{2}h_{ab} K\right)\nonumber \\
& + h_{ab} \left( u_c u^c - D_c u^c- \frac{1}{2} K_{cd} K^{cd}  \right)\nonumber\\
& + D_a u_b -u_a u_b, \label{EinsteinTangente}\\
8\pi G_N j_a &= D_a K - D_b K_a\,^b,\label{EinsteinHib}\\
8\pi G_N \rho &= \frac{1}{2}\left(\,^{(3)}R + K^2 - K_{ab} K^{ab}\right).\label{EinsteinNormal}
\end{align}
Como las Ecs. \eqref{EinsteinHib} y \eqref{EinsteinNormal} representan condiciones para la m\'etrica inducida y sus derivadas en cada hipersuperficie, a menudo se les denomina ecuaciones de constricci\'on. \'Estas resultan de especial inter\'es puesto que son m\'as f\'aciles de resolver que el sistema completo \eqref{Einstein}, y, para campos de materia apropiados, la existencia de dichas soluciones sobre una hipersuperficie $\Sigma$ garantiza, dada la existencia de una buena formulaci\'on de valores iniciales$^{xi}$, la existencia y unicidad de una soluci\'on para todo el espaciotiempo.

\section{Conclusiones}

\noindent
En este trabajo se ha presentado una rese\~na de los aspectos generales del formalismo $3+1$, y se han introducido convenciones y notaci\'on especialmente adaptadas para \'este, que facilitan el tratamiento sistem\'atico de todas las proyecciones involucradas y la manipulaci\'on de expresiones de uso frecuente en  Relatividad General. 

Haciendo uso de \'estas herramientas se han derivando f\'ormulas expl\'icitas y generales para productos tensoriales \eqref{Producto}, simetrizaci\'on \eqref{Simetrizacion}, antisimetrizaci\'on \eqref{Antisimetrizacion} y contracci\'on de \'indices \eqref{Traza}, as\'i como para la derivada covariante \eqref{D3p1}. Asimismo, se han obtenido todas las proyecciones del tensor de Riemann \eqref{0Riem}-\eqref{11Riem}, del tensor de Einstein \eqref{0Einstein}-\eqref{3Einstein}, y las relaciones de Gauss-Codacci \eqref{GC1}-\eqref{GC2}.





 \section*{Appendix}

\section*{A.  Observadores Eulerianos \label{eulerianos}}


\noindent
Al considerar una foliaci\'on del espaciotiempo por hipersuperficies de Cauchy $\Sigma_t$, el campo de vectores normales a cada una de estas hipersuperficies $n^a$, unitario y tipo tiempo puede interpretarse como el campo de velocidades de un conjunto de observadoes en cada punto del espaciotiempo, a los que se les denomina observadores Eulerianos \cite{3p1Gourgoulhon}. Estos observadores toman por superficie de simultaneidad justamente a cada $\Sigma_t$.

 La relaci\'on entre el tiempo propio medido por estos observadores y el cambio de la funci\'on tiempo $t$, es justamente la funci\'on \textit{lapse}. M\'as formalmente, consid\'erese la trayectoria de uno de estos observadores, la cual ser\'a una curva $\lambda : \R \rightarrow \mathcal{M}$ que, parametrizada por el tiempo propio $\tau$, y que introduciendo coordenadas $x^\mu$, cumple con
\begin{equation*}
n^\mu = \frac{d x_\lambda^\mu}{d\tau}.
\end{equation*}
Si se toma $x^0 = t$, se tiene que
\begin{equation*}
n^0 = \frac{dt}{d\tau}= n^a (d t)_a = n^a \nabla_a t = \frac{1}{N}.
\end{equation*}
Por lo tanto, $n^a \nabla_a$ corresponde a la derivada respecto al tiempo propio de esta familia de observadores, de modo que la 4-aceleraci\'on de los observadores es justamente
\begin{equation*}
\mathcal{A}^a \equiv n^b \nabla_b n^a = -u^a,
\end{equation*}
que es tangente a cada $\Sigma_t$.

Para los observadores Eulerianos, las diferentes componentes de proyecci\'on del tensor momento energ\'ia de cualquier forma de materia, $T_{ab}$, son directamente la \textbf{densidad de energ\'ia de materia},
\begin{equation*}
\rho \equiv n^a n^b T_{ab} = T_\bot,
\end{equation*} 
la \textbf{densidad de momento de la materia},
\begin{equation*}
j_a \equiv -n^b h_a\,^{a'} T_{a' b} = \tilde{\tau}_a,
\end{equation*}
y el \textbf{tensor de esfuerzos de la materia}, 
\begin{equation*}
S_{ab} \equiv h_a\,^{a'} h_b\,^{b'} T_{a' b'} = \widetilde{T}_{ab}. 
\end{equation*}

\section*{B. Mapeos y derivada de Lie}\label{ApendiceLie}


\noindent
Un mapeo $\phi: \mathcal{M}\rightarrow \mathcal{N}$ induce un nuevo mapeo que permite identificar (o \textit{transportar}) tensores tangentes a $\mathcal{M}$, con tensores tangentes a $\mathcal{N}$. En el caso $\mathcal{N}=\mathcal{M}$, y para vectores en el espacio tangente a $p$, $v^a \in \mathcal{T}_p \mathcal{M}$, el mapeo correspondiente es el \textit{push-forward}, $\phi_*: \mathcal{T}_p \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{T}_{\phi (p)}\mathcal{M}$, que en t\'erminos de la acci\'on de vectores sobre funciones est\'a definido por la regla
\begin{equation}
\left(\phi_* v^a\right)(f) \equiv v^a (f\circ \phi), \tag{B. 1}
\end{equation}
y para covectores, el mapeo $\phi^* : \mathcal{T}_{\phi (p)}^*\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{T}_p^* \mathcal{M}$ se denomina \textit{pull-back}, y est\'a dado por
\begin{equation}
\left(\phi^* \omega_a\right) (v^a) \equiv \omega_a ( \phi_* v^a ),\tag{B. 2}
\end{equation}
por lo que en general se define para tensores $(k,l)$, $T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l}$, el pullback $\phi^* T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l}$ mediante la regla
\begin{align}
\left(\phi^* T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} \right)\omega_{a_1} \dots \omega_{a_k} v^{b_1} \dots v^{b_l} \equiv \nonumber\\
T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} (\phi^* \omega_{a_1}) \dots (\phi^* \omega_{a_k}) \nonumber\\
([\phi^{-1}]_* v^{b_1}) \dots ([\phi^{-1}]_* v^{b_l}) . \tag{B. 3}  \label{Pullback}
\end{align}
La derivada de Lie  de un campo tensorial $T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l}$, respecto a un campo vectorial $v^a$ que genera un grupo uniparam\'etrico de difeomorfismos$^{xii}$ $\phi_\tau$ se define como \cite{WaldGR}
\begin{align}
\Lie_v T^{a_1 \dots a_k}&\,_{b_1 \dots b_l}\nonumber\\
\equiv \lim\limits_{\tau\rightarrow 0} &\frac{\phi^*_{-t} T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} -T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l}}{\tau},\tag{B. 4}
\end{align}
y da como resultado un campo tensorial del mismo rango que $T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l}$. Esta cantidad se puede interpretar como el cambio infinitesimal del campo  $T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l}$ a lo largo del flujo de $\phi_t$.

N\'otese que la derivada de Lie de un campo tensorial respecto a un campo vectorial $v^a$, s\'olo est\'a bien definida en un punto dado $q$ si el campo tensoriales est\'a definido en una vecindad de $q$ que contenga un intervalo de la curva integral de $v^a$ que pasa por dicho punto. 
Por lo tanto, en t\'erminos de una foliaci\'on por hipersuperficies de Cauchy, para calcular la derivada de Lie de un campo tensorial respecto a un campo vectorial tipo tiempo, es necesario que el campo est\'e definido no s\'olo en la hipersuperficie donde se est\'a evaluando su derivada, sino tambi\'en en las hipersuperficies que contengan una vecindad infinitesimal de la hipersuperficie en cuesti\'on. 

Una expresi\'on general para la derivada de Lie de un campo tensorial $T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l}$ es \cite{WaldGR},
\begin{align}
\Lie_v T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} &= v^c \nabla_c T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} \nonumber\\
&-\sum_{i=1}^{k} T^{a_1 \dots c \dots  a_k}\,_{b_1 \dots b_l} \nabla_c v^{a_i}\nonumber\\
&+\sum_{j=1}^{l} T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots c \dots b_l} \nabla_{b_j} v^{c}. \tag{B. 5}\label{LieGeneral}
\end{align}

A partir de la f\'ormula \eqref{LieGeneral}, y de la definici\'on de la derivada normal de la Sec. \ref{OpsDeriv}, Ec. \eqref{dbar}, se obtiene directamente que la relaci\'on entre \'estas derivadas es 
\begin{align}
\dbar T^{a_1 \dots a_k}&\,_{b_1 \dots b_l} = - \Lie_n T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} \nonumber\\
&-\sum_{i=1}^{k} T^{a_1 \dots c \dots  a_k}\,_{b_1 \dots b_l} (K_c\,^{a_i} + n_c u^{a_i})\nonumber\\
&+\sum_{j=1}^{l} T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots c \dots b_l} (K_{b_j}\,^c+n_{b_j} u^c), \tag{B. 6} \label{LieVsDbar}
\end{align}
siendo $u_a = \dbar n_a$ y $ K_{ab} = D_a n_b$. 

Por ejemplo, para el caso del propio campo de covectores $n_a$, \eqref{LieVsDbar} implica que
\begin{align*}
u_a \equiv \dbar n_a &= - \Lie_n n_a + n_{c} (K_{a}\,^c+n_{a} u^c)\\
&= - \Lie_n n_a,
\end{align*}
lo que prueba la Ec. \eqref{LieN}.

El resultado \eqref{Dhab} de la Sec. \ref{3p1Derivs} implica que 
\begin{align*}
\dbar h_{ab} &= -n^c \nabla_c h_{ab}\\
&= -n^{c} (K_{ca}n_b + K_{cb}n_a + n_c n_a u_b + n_c n_b u_a ) \\
&= n_a u_b + n_b u_a ,
\end{align*}
lo cual se puede sustituir en el lado izquierdo de la f\'ormula \eqref{LieVsDbar} para obtener
\begin{align*}
n_a u_b + n_b u_a &= - \Lie_n h_{ab} +h_{cb} (K_{a}\,^c+n_{a} u^c)\\
&\quad +h_{ac} (K_{b}\,^c+n_{b} u^c),\\
&= - \Lie_n h_{ab} + 2 K_{ab} + n_a u_b + n_b u_a\\
\Rightarrow \quad \Lie_n h_{ab}&= 2 K_{ab} ,
\end{align*}
que prueba la Ec. \eqref{Liehab}. M\'as a\'un, el lado derecho de la expresi\'on \eqref{LieVsDbar} puede escribirse completamente en t\'erminos de las derivadas de Lie de $n^a$ y $h_{ab}$, pues
\begin{align*}
u^a &= h^{ac} u_c = - h^{ac} \Lie_n n_c,\\
K_a\,^b &= h^{bc} K_{ac}= \frac{1}{2}h^{bc} \Lie_n h_{ac},
\end{align*}
es decir, 
\begin{align}
\dbar T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} &= - \Lie_n T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots b_l} \nonumber\\
&\quad -\sum_{i=1}^{k} T^{a_1 \dots c \dots  a_k}\,_{b_1 \dots b_l} \nonumber\\
&\qquad h^{a_i d} \left(\frac{1}{2}\Lie_n h_{cd} - n_c \Lie_n n_d\right)\nonumber\\
&\quad +\sum_{j=1}^{l} T^{a_1 \dots a_k}\,_{b_1 \dots c \dots b_l}\nonumber\\
&\qquad h^{cd}\left(\frac{1}{2}\Lie_n h_{b_j d}-n_{b_j} \Lie_n n_d \right). \tag{B. 7} \label{LieVsDbarLie}
\end{align}
\'esto muestra la conveniencia de recurrir a la derivada normal $\dbar$ para la manipulaci\'on de expresiones $3+1$, ya que evita escribir varios t\'erminos que incluir\'ian combinaciones de derivadas de Lie.

\section*{C. 4-aceleraci\'on y la funci\'on Lapse}\label{ApendiceDlnN}



\noindent
El campo $u_a=\dbar n_a$, proporcional a la 4-aceleraci\'on de los observadores Eulerianos, tambi\'en puede expresarse en t\'erminos de la derivada tangente a la hipersuperficie de la funci\'on Lapse, $D_a N$. La prueba que aqu\'i se presenta sigue el desarrollo correspondiente en la Ref. 1. 
A partir de la Ec.~\eqref{lapse}, se despeja la derivada de $t$,
\begin{equation*}
\nabla_a t =  - \frac{n_a}{N}.
\end{equation*}
A continuaci\'on se sustituye en la propiedad de no torsi\'on de la derivada \cite{WaldGR}, aplicada a la funci\'on tiempo,
\begin{equation}
\nabla_a \nabla_b t = \nabla_b \nabla_a t, \tag{C. 1}  \label{NoTorsionT}
\end{equation} 
y se desarrolla, quedando
\begin{equation}
-\frac{n_b}{N} \nabla_a N + n_a u_b = -\frac{n_a}{N} \nabla_b N + n_b u_a. \tag{C. 2} \label{DNpre1}
\end{equation}
Al contraer \eqref{DNpre1} con $- n^a h_c\,^b$, se obtiene la Ec. \eqref{DLnN},
\begin{equation*}
u_c = -\frac{1}{N} D_c N = - D_c \ln N. 
\end{equation*}

\section*{D. Perspectiva tridimensional}\label{Persp3D}

\noindent
A partir de las nociones de la secci\'on \ref{defs}, es posible establecer una relaci\'on entre la subvariedad $\Sigma_t\subset \mathcal{M}$, y una variedad tridimensional $\hat \Sigma$ con la misma topolog\'ia. Para ello, considere un mapeo suave $\varrho: \, \mathcal{M} \rightarrow \hat \Sigma$ con la propiedad de ser invariante ante el mapeo $\phi_{\tau}$ generado por el campo $t^a$ de la Sec. \ref{defs}, es decir, 
\begin{align}
\varrho(\phi_{\tau}(p)) = \varrho(p), \, \forall\, p\in \mathcal{M}, \,\tau \in \R. \tag{D. 1}\label{Proyeccion}
\end{align}
N\'otese que cualquier difeomorfismo sobre $\hat{\Sigma}$ define un nuevo mapeo $\varrho'$ con la misma propiedad, por lo que un mapeo de este tipo no ser\'a \'unico.

Como $\varrho$ mapea todos los puntos de una curva $\gamma_p(\tau)$ al punto $\varrho(p)\in \hat\Sigma$, no es \'unica la noci\'on de mapeo inverso para $\varrho$, pues existe una infinidad de funciones $\rho : \hat{\Sigma}\rightarrow \mathcal{M}$ tales que $\varrho(\rho (q))=q$.

Esta ambig\"uedad se puede resolver si se toma en cuenta el valor de la funci\'on global de tiempo $t$, y se utiliza como un par\'ametro externo para los objetos en $\hat \Sigma$, de modo que \'estos ``evolucionen'' respecto a $t$. Con este fin, se escoge una hipersuperficie $\Sigma_{t_0}$ correspondiente a cierto valor $t_0$ de referencia para la funci\'on $t$ (no necesariamente $t_0=0$), y se define $\Phi_{t_0}: \Sigma_{t_0}\rightarrow\hat{\Sigma}$ como
\begin{equation*}
\Phi_{t_0}(p) = \varrho(p).
\end{equation*}
Este mapeo es un difeomorfismo, as\'i que tiene un mapeo inverso bien definido, $\Phi^{-1}_{t_0}$, y de este modo se puede definir el siguiente mapeo invertible,
\begin{align}
\Psi: \mathcal{M} &\rightarrow \R \times \hat{\Sigma}, \nonumber \\
p &\mapsto (t(p),\varrho(p)),\tag{D. 2}
\\
\Psi^{-1}: \R\times\hat{\Sigma} &\rightarrow  \mathcal M , \nonumber\\
(\tau,q) &\mapsto \phi_{\tau-t_0} \left[\Phi^{-1}_{t_0} (q)\right].\tag{D. 3}
\end{align}

A partir de $\Psi$ y $\Psi^{-1}$, se induce el \textit{push-forward} $\Psi_*$ de vectores de $T\mathcal{M}$, al espacio tangente a $\R\times\hat{\Sigma}$, y el \textit{pullback} $(\Psi^{-1})^*$ que \textit{transporta} covectores del espacio cotangente a la variedad hacia el espacio cotangente de $\R\times\hat{\Sigma}$. \'estos mapeos se generalizan para tensores arbitrarios evaluando sobre vectores y covectores seg\'un corresponda, tal como en la Ec. \eqref{Pullback} del Ap\'endice \ref{ApendiceLie}. 

En t\'erminos de coordenadas $y^i$ sobre $\hat{\Sigma}$, con $i=1,2,3$, el mapeo $\varrho: \mathcal{M} \rightarrow \hat{\Sigma}$ se expresa en t\'erminos de las tres funciones $\varrho^i$ tales que
\begin{equation*}
\varrho^i (p) \equiv y^i (\varrho(p)),
\end{equation*}
con lo que la condici\'on \eqref{Proyeccion} se reescribe como
\begin{align*}
t^a \nabla_a \varrho^i = N^a \nabla_a \varrho^i + N n^a \nabla_a \varrho^i = 0.
\end{align*}
Entonces, el \textit{push-forward} $\Psi_*$ de un vector se escribe como
\begin{align}
\Psi_* v^a &= \left(\frac{v_\bot}{N} \partial_t, \left[\widetilde{v}^b - \frac{v_\bot}{N} N^b \right] \left[\nabla_b \varrho^i\right] \left[\frac{\partial}{\partial y^i}\right]^a \right). \tag{D. 4}
\end{align}
Esta expresi\'on representa un elemento del espacio tangente a $\R\times \hat \Sigma$, por lo que su primera entrada es un vector unidimensional y la segunda entrada un vector tridimensional.

Aqu\'i se esclarece el papel que juega el vector $\textit{shift}$: indica qu\'e tanto se desplazan las proyecciones tangentes de vectores al representarlos en el espacio tangente a la variedad tridimensional $\hat\Sigma$ bajo el mapeo $\Psi_*$. 

\section*{E.  Formulaci\'on de Valores Iniciales \label{ValoresIniciales}}

\noindent
Un sistema hiperb\'olico cuasilineal, diagonal y de segundo orden es un sistema de ecuaciones diferenciales para los campos $\phi_i$, con $i=1,\dots, n$, de la forma
\begin{equation}
g^{\mu\nu}(\phi_j, \partial_\mu \phi_j) \partial_\mu \partial_\nu \phi_i 
= F_{i}(\phi_j, \partial_\mu \phi_j). \tag{E. 1} \label{SisHiperb}
\end{equation}

Si se considera una soluci\'on particular para los campos $(\phi_0)_{i}$, en la que $(\mathcal{M},(g_0)_{\mu\nu}[(\phi_0)_j, \partial_\mu (\phi_0)_j])$ es un espaciotiempo globalmente hiperb\'olico, entonces, un sistema de la forma \eqref{SisHiperb} cuenta con una buena formulaci\'on de valores iniciales en el siguiente sentido. Dado el conjunto de datos $\phi_i|_{\Sigma}$ y $n^\rho \nabla_\rho \phi_i|_{\Sigma}$ sobre una hipersuperficie de Cauchy $\Sigma$, suficientemente \textit{cercanos} a los correspondientes para la soluci\'on $(\phi_0)_i$, existe una vecindad abierta $O$ de $\Sigma$ en la que existe una soluci\'on \'unica para \eqref{SisHiperb}, y esta soluci\'on depende \textit{continuamente} de los valores iniciales $\phi_i|_{\Sigma}$ y $n^\rho \nabla_\rho \phi_i|_{\Sigma}$. 

Los detalles de este enunciado pueden encontrarse en \cite{WaldGR} (Teorema 10.1.3), mientras que una prueba m\'as completa se encuentra en \cite{HawkingEllis}. Este teorema es una generalizaci\'on del teorema de Cauchy-Kovalevskaya \cite{Kowalevsky} sobre la existencia y unicidad de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales. 

Una vez que se escogen coordenas arm\'onicas$^{xiii}$, las ecuaciones de Einstein en el vac\'io se pueden escribir como un sistema de la forma \eqref{SisHiperb}, tomando como los campos $\phi_i$ a las componentes de la m\'etrica en estas coordenadas, $g_{\mu\nu}$.

Empleando la formulaci\'on $3+1$, se parte de este resultado para mostrar que$^{xiv}$, dada una variedad tridimensional suave $\Sigma$, una m\'etrica $h_{ab}$ sobre \'esta, y $K_{ab}$ un tensor suave sim\'etrico en $\Sigma$, que satisfacen las Ecs. de \textit{constricci\'on} \eqref{EinsteinHib} y \eqref{EinsteinNormal} en el vac\'io, existe un espaciotiempo \'unico $(\mathcal{M},g_{ab})$, denominado el desarrollo maximal de Cauchy de $(\Sigma, h_{ab}, K_{ab})$, que satisface:
\begin{itemize}
	\item[(i)] $(\mathcal{M},g_{ab})$ es una soluci\'on de la ecuaci\'on de Einstein \eqref{Einstein} en el vac\'io.
	\item[(ii)] $(\mathcal{M},g_{ab})$ es globalmente hiperb\'olico con superficie de Cauchy $\Sigma$.
	\item[(iii)] La m\'etrica inducida y curvatura extr\'inseca en $\Sigma$ son, respectivamente, $h_{ab}$ y $K_{ab}$. 
	\item[(iv)] Cualquier otro espaciotiempo que satisface (i)-(iii) puede mapearse isom\'etricamente a un subconjunto de $(\mathcal{M},g_{ab})$, y la soluci\'on $g_{ab}$ depende continuamente de los datos iniciales $(h_{ab},K_{ab})$ en $\Sigma$.
\end{itemize}

Para el caso de las ecuaciones de Einstein con materia, la existencia de una buena formulaci\'on de valores iniciales depende cr\'iticamente del tipo de materia que se considere, en especial de las ecuaciones de movimiento que \'esta obedezca y de la forma que tenga su tensor de momento energ\'ia $T_{ab}$.

En general, si la materia consiste de campos $\phi_i$ que satisfacen una ecuaci\'on del tipo \eqref{SisHiperb} y si $T_{ab}$ depende solamente de los campos $\phi_i$ y sus primeras derivadas, as\'i como de la m\'etrica del espaciotiempo $g_{ab}$ y sus primeras derivadas, entonces las ecuaciones de Einstein para el sistema conjunto de los campos y la m\'etrica tendr\'a la forma \eqref{SisHiperb} y por ende existir\'a una buena formulaci\'on de valores iniciales \cite{WaldGR}. 

Algunos casos de campos de materia para los que existe una buena formulaci\'on de valores iniciales para las ecuaciones de Einstein son:
\begin{itemize}
	\item El campo escalar $\phi$ que cumple la ecuaci\'on de Klein-Gordon, 
	\begin{equation}
	(g^{ab}\nabla_a \nabla_b - m^2 + \xi R) \phi=0. \tag{E. 2}
	\end{equation}
	\item El campo vectorial $A^a$ que cumple con las ecuaciones de Maxwell 
	\begin{equation}
	g^{ac} \nabla_c F_{a b}=0, \tag{E. 3}
	\end{equation}
	donde $F_{ab}\equiv 2 \nabla_{[a} A_{b]}$.
	\item El fluido perfecto con ecuaciones de estado $P=P(\rho)$ \textit{apropiadas}, a pesar de no ser un sistema del tipo \eqref{SisHiperb}~\cite{WaldGR,HawkingEllis}.
\end{itemize}

Una discusi\'on m\'as amplia sobre los tipos de materia que permiten contar con una buena formulaci\'on de valores iniciales en Relatividad General, se puede consultar en la Ref. \cite{HawkingEllis}, a donde dirigimos a los lectores interesados en profundizar en este tema. 

Es importante enfatizar que, en el caso m\'as general, no est\'a garantizada la existencia de una buena formulaci\'on de valores iniciales, especialmente si la materia no obedece ecuaciones lineales o cuasi-lineales. Adem\'as, si un espaciotiempo (o una regi\'on abierta de \'este) no es globalmente hiperb\'olico, no se contar\'a con una buena formulaci\'on de valores iniciales en el sentido previamente expuesto.


\end {multicols}

\section*{F. Conjuntos de etiquetas de \'indices}\label{TablasIndices} 



\longtabletopline\vspace{2pt}\lilahrge{\sc Tabla I.\ {\rm Conjuntos de etiquetas para 1, 2, 3 y 4 \'indices.}}
\begin{center}
\small{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\renewcommand{\tabcolsep}{1.5pc}
\begin{tabular}{cccccccc}
\hline
	$m$ & $m_B$ & $\zeta _m$ & $Y^1{}_m$ & $Y^2{}_m$ & $Y^3{}_m$ & $Y^4{}_m$ & $Y^5{}_m$ \\\hline
	0 & 0 & $\emptyset$ & $\{0\}$ & \{1,0\} & \{2,1,0\} & \{3,2,1,0\} & \{4,3,2,1,0\} \\
	1 & 1 & \{0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{2,1\} & \{3,2,1\} & \{4,3,2,1\} \\
	2 & 10 & \{1\} & \{0\} & \{0\} & \{2,0\} & \{3,2,0\} & \{4,3,2,0\} \\
	3 & 11 & \{1,0\} &$\emptyset$ & $\emptyset$ & \{2\} & \{3,2\} & \{4,3,2\} \\
	4 & 100 & \{2\} & \{0\} & \{1,0\} & \{1,0\} & \{3,1,0\} & \{4,3,1,0\} \\
	5 & 101 & \{2,0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{1\} & \{3,1\} & \{4,3,1\} \\
	6 & 110 & \{2,1\} & \{0\} & \{0\} & \{0\} & \{3,0\} & \{4,3,0\} \\
	7 & 111 & \{2,1,0\} & $\emptyset$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ & \{3\} & \{4,3\} \\
	8 & 1000 & \{3\} & \{0\} & \{1,0\} & \{2,1,0\} & \{2,1,0\} & \{4,2,1,0\} \\
	9 & 1001 & \{3,0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{2,1\} & \{2,1\} & \{4,2,1\} \\
	10 & 1010 & \{3,1\} & \{0\} & \{0\} & \{2,0\} & \{2,0\} & \{4,2,0\} \\
	11 & 1011 & \{3,1,0\} & $\emptyset$ & $\emptyset$ & \{2\} & \{2\} & \{4,2\} \\
	12 & 1100 & \{3,2\} & \{0\} & \{1,0\} & \{1,0\} & \{1,0\} & \{4,1,0\} \\
	13 & 1101 & \{3,2,0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{1\} & \{1\} & \{4,1\} \\
	14 & 1110 & \{3,2,1\} & \{0\} & \{0\} & \{0\} & \{0\} & \{4,0\} \\
	15 & 1111 & \{3,2,1,0\} & $\emptyset$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ & \{4\} \\
	16 & 10000 & \{4\} & \{0\} & \{1,0\} & \{2,1,0\} & \{3,2,1,0\} & \{3,2,1,0\} \\
	17 & 10001 & \{4,0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{2,1\} & \{3,2,1\} & \{3,2,1\} \\
	18 & 10010 & \{4,1\} & \{0\} & \{0\} & \{2,0\} & \{3,2,0\} & \{3,2,0\} \\
	19 & 10011 & \{4,1,0\} & $\emptyset$ & $\emptyset$ & \{2\} & \{3,2\} & \{3,2\} \\
	20 & 10100 & \{4,2\} & \{0\} & \{1,0\} & \{1,0\} & \{3,1,0\} & \{3,1,0\} \\
	21 & 10101 & \{4,2,0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{1\} & \{3,1\} & \{3,1\} \\
	22 & 10110 & \{4,2,1\} & \{0\} & \{0\} & \{0\} & \{3,0\} & \{3,0\} \\
	23 & 10111 & \{4,2,1,0\} & $\emptyset$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ & \{3\} & \{3\} \\
	24 & 11000 & \{4,3\} & \{0\} & \{1,0\} & \{2,1,0\} & \{2,1,0\} & \{2,1,0\} \\
	25 & 11001 & \{4,3,0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{2,1\} & \{2,1\} & \{2,1\} \\
	26 & 11010 & \{4,3,1\} & \{0\} & \{0\} & \{2,0\} & \{2,0\} & \{2,0\} \\
	27 & 11011 & \{4,3,1,0\} & $\emptyset$ & $\emptyset$ & \{2\} & \{2\} & \{2\} \\
	28 & 11100 & \{4,3,2\} & \{0\} & \{1,0\} & \{1,0\} & \{1,0\} & \{1,0\} \\
	29 & 11101 & \{4,3,2,0\} & $\emptyset$ & \{1\} & \{1\} & \{1\} & \{1\} \\
	30 & 11110 & \{4,3,2,1\} & \{0\} & \{0\} & \{0\} & \{0\} & \{0\} \\
	31 & 11111 & \{4,3,2,1,0\} & $\emptyset$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ \\
\hline
\end {tabular}}
\end {center}
\vspace{10pt}

\begin {multicols}{2}

\section*{Agradecimientos}


\noindent 
Agradecemos los comentarios y sugerencias del revisor an\'onimo que han permitido mejorar este manuscrito. Este trabajo ha sido apoyado por los proyectos CONACYT No. 220738  y  DGAPA-UNAM IG-100316.


\end{multicols}
\medline
\begin{multicols}{2}
\begin{thebibliography}{99}
%\bibitem{c1}

\bibitem[i]{c1}En el Ap\'endice E se incluye una exposici\'on m\'as precisa de lo que significa contar con una buena formulaci\'on de valores iniciales en Relatividad General, y las condiciones que se requieren para ello.

\bibitem[ii]{c1} Ver por ejemplo [6].

\bibitem[iii]{c1} En el Ap\'endice F se tabulan todos los conjuntos de \'indices necesarios para desarrollar tensores hasta de cuatro \'indices.

\bibitem[iv]{c1} Ver Ap\'endice B.

\bibitem[v]{c1} N\'otese que $u_a$ es tangente a $\Sigma_t$ debido a que $n^a$ es de norma constante. 

\bibitem[vi]{c1} Ver Ap\'endice C.

\bibitem[vii]{c1}Ver Ap\'endice B.

\bibitem[viii]{c1}El signo de $u^a$ se ha escogido para que en los siguientes desarrollos todos los t\'erminos tengan signo positivo.

\bibitem[ix]{c1}En esta secci\'on se regresa a la notaci\'on usual de \'indices abstractos ya que la notaci\'on empleada en la secci\'on anterior en este caso es innecesariamente general. No obstante, se conserva la nomenclatura para las componentes de proyecci\'on derivada de esta notaci\'on.

\bibitem[x]{c1}Una rese\~na sobre los observadores Eulerianos y el significado f\'isico de las componentes de proyecci\'on del tensor momento energ\'ia de acuerdo a ellos se encuentra en el Ap\'endice A.

\bibitem[xi]{c1}Ver Ap\'endice E.

\bibitem[xii]{c1}Un mapeo suave que es uno a uno, sobreyectivo y con mapeo inverso suave.

\bibitem[xiii]{c1} Coordenadas $x^\mu$ tales que $H^{\mu} \equiv g^{ab} \nabla_a \nabla_b (x^\mu) = 0$.

\bibitem[xiv]{c1} Teorema 10.2.2 de Wald [5].





\bibitem{3p1Gourgoulhon} E. Gourgoulhon,
\textit{3+1 Formalism in General Relativity: bases of numerical relativity}, Lecture Notes in Physics \textbf{vol. 846} (Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012).

\bibitem{ADM60}	R. Arnowitt, S. Deser, and C.W. Misner, \textit{Phys. Rev.} \textbf{117} (1960) 1595.

\bibitem{ADM62} R. Arnowitt, S. Deser, and C.W. Misner, \textit{The Dynamics of General Relativity} in Gravitation: an introduction to current research, editado por Louis Witten (Wiley, New York, 1962).

\bibitem{AlcubierreNumerical} M. Alcubierre, \textit{Introduction to 3+1 numerical relativity}, International series of monographs on physics (Oxford Univ. Press, Oxford, 2008).

\bibitem{WaldGR} R.M. Wald, \textit{General Relativity} (University of Chicago Press, Chicago, 1984).

\bibitem{Tsirulev} A.N. Tsirulev, \textit{Theor. Math. Phys.} \textbf{102} (1995) 245.

\bibitem{richtmyer1981} R.D. Richtmyer, \textit{Principles of Advanced Mathematical Physics}, \textbf{vol. 1} (Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1981).

\bibitem{HawkingEllis} S.W. Hawking, and G.F.R. Ellis, \textit{The Large Scale Structure of Space-Time}, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (Cambridge University Press, New York, 1973).

\bibitem{Kowalevsky} S.V. Kowalevsky, \textit{Journal f\"ur die reine und angewandte Mathematik} 
\textbf{80} (1875) 1.





\end{thebibliography}
\end{multicols}
\end{document}
%
%Notas:
%
%\tabletopline\vspace{2pt}\lilahf{\sc Table I.\ {\rm Table caption}}
%\begin{center}
%\small{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\renewcommand{\tabcolsep}{1.35pc}
%\begin{tabular}{cccc}
%\hline
%\hline
%\end{tabular}}
%\end{center}
%
