%Numero de paginas en dvi = 9
\documentclass[spanish]{rmf-e}
\usepackage{nopageno,rmfbib,multicol,times,epsf,amsmath,amssymb,cite}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage[]{caption2}
\usepackage{graphics}
%
%\numero{2}
%
\spanishdecimal{.}
\def\rmfcornisa{EDUCATION \hfill\rmf\ E {\bf 64} (2018) 232--240
\hfill JULY--DECEMBER 2018}
\newcommand{\ssc}{\scriptscriptstyle}
%
\def\rmfcintilla{{\it Rev.\ Mex.\ F\'{\i}s.\/ E}  {\bf 64} (2018) 232--240}
\clearpage \rmfcaptionstyle \pagestyle{myheadings}
\setcounter{page}{232}
\markboth{H.E.\ Caicedo-Ortiz, E.\ Santiago-Cort\'es, H.O.\ Casta\~neda Fernandez and C. Hern\'andez  Hern\'andez}
{Cohetes hidr\'aulicos con videos slow motion}
\begin{document}
\title{Cohetes hidr\'aulicos con videos en c\'amara lenta
\vspace{-2pt}}
\author{H.E.\ Caicedo-Ortiz}
\address{Corporaci\'on Universitaria Aut\'onoma del Cauca, Popay\'an, Colombia.\\
Departamento de Ciencias B\'asicas, Facultad de Ingenier\'ia, \\
 Universidad Anahuac Norte, Estado de M\'exico, M\'exico.\ \\
Preparatoria Vasco de Quiroga, IEMS, Ciudad de M\'exico, M\'exico.}
\author{E.\ Santiago-Cort\'es}
\address{Corporaci\'on Universitaria Aut\'onoma del Cauca, Popay\'an, Colombia,\\
Escuela Nacional de Ciencias Biol\'ogicas y Centro de Nanociencias y Micro y Nanotecnolog\'ias,
\\
Instituto Polit\'ecnico Nacional, Ciudad de M\'exico, M\'exico.}
\author{H.O.\ Casta\~neda Fernandez}
\address{Escuela Superior de F\'isica y Matem\'aticas, Instituto Polit\'ecnico Nacional, 
\\
Ciudad de M\'exico, M\'exico.}
\author{C. Hern\'andez Hern\'andez}
\address{Facultad de Ingenier\'ia,\\
 Universidad de los Andes, Bogot\'a, Colombia} % hernando.caicedo@uniautonoma.edu.co
\maketitle
\recibido{29 November 2017}{3 April 2018
\vspace{-7pt}}
\begin{resumen}
En este art\'iculo se determina la velocidad y aceleraci\'on de un conjunto de cuatro cohetes hidr\'aulicos, empleando el m\'etodo de m\'inimos cuadrados y el m\'etodo de Euler. Los
datos de posici\'on y tiempo se obtienen a partir del an\'alisis de videos
en c\'amara lenta (slow motion) del lanzamiento de los cohetes, procesados
con el software analizador de videos ``\textit{Tracker}''.  Este experimento
se propone como una herramienta pedag\'ogica para la exploraci\'on por
parte de estudiantes de ciencia e ingenier\'ia
de conceptos b\'asicos de cinem\'atica y din\'amica en sistemas con masa
y aceleraci\'on variables.
\end{resumen}
\descript{ Cohete hidr\'aulico; \textit{Tracker}; videos slow motion; ajuste por m\'inimos cuadrados;\ m\'etodo de Euler. \vspace{0pt}}
\begin{abstract}
 In this paper, the velocity and acceleration of four water rockets is determined, using the least squares method and the Euler's method. The position and time data are obtained from the analysis of slow-motion videos of the launch of the rockets, processed with the video analyzer software ``\textit{Tracker}''. This experiment is proposed as a pedagogical tool for the exploration by students of high school and first semester of sciencie and engineering of basic concepts of kinematics and dynamics in systems with variable mass and acceleration.
\end{abstract}
\keys{ Water rocket; \textit{Tracker}; slow motion videos; least squares method;\ Euler's method. \vspace{-2pt}}
\pacs{01.40.Ha; 01.50.Wg; 03.67.Lx; 07.05.Hd \vspace{-0pt}}
\begin{multicols}{2}



\section{Introducci\'on}


\noindent
En los \'ultimos a\~nos, se ha intensificado la construcci\'on  y uso de cohetes
hidr\'aulicos [1-9] como una herramienta innovadora para el aprendizaje de
la f\'isica al interior del  aula de clases [9-16]. El movimiento de cuerpos auto-propulsados es
un tema de alto inter\'es, presentado en los cursos de f\'isica b\'asica y ejemplifica las leyes de Newton aplicadas a un sistema de masa
variable [17-20]. 

Una revisi\'on bibliogr\'afica refleja una vasta literatura disponible, que describe el movimiento del cohete bajo distintas
consideraciones f\'isicas [1-4,21-29], sin embargo, en ning\'un
trabajo se presenta un an\'alisis cinem\'atico bi-dimensional de este
sistema a partir de datos experimentales a una resoluci\'on de tiempo del orden de mili-segundos

Con la aparici\'on de las c\'amaras fotogr\'aficas digitales de alta velocidad, es posible grabar objetos en movimiento en v\'ideo a velocidades superiores a los 25 fps (``cuadros por segundo'', por sus siglas en ingles). Con la ayuda de software especializado como  ``\textit{Tracker}'' [30], se pueden analizar estas grabaciones y obtener informaci\'on f\'isica del movimiento de dicho objeto [31-35].

En este trabajo se analizan los videos del despegue
de cuatro (4) cohetes hidr\'aulicos, grabados con una c\'amara
Nikon 1J1 [36] a una velocidad de 400 fps. La posici\'on del cohete para un cierto tiempo $t$ se
obtienen al procesar el video con el programa ``\textit{Tracker}''. Con estos datos, se construye un modelo f\'isico del sistema, empleando un ajuste a un polinomio de cuarto grado a trav\'es del m\'etodo de m\'inimos cuadrados.


Esta actividad experimental puede ser replicada en un curso de f\'isica a nivel de preparatoria y primeros semestres a nivel universitario en carreras de ciencias e ingenier\'ia, buscando que
los estudiantes puedan construir modelos f\'isicos sencillos a partir
de datos experimentales, adem\'as de estudiar sistemas en los cuales la aceleraci\'on y la masa son variables.




\section{Etapas del vuelo de un Cohete hidr\'aulico}

\noindent 
En el estudio del vuelo de un cohete de agua, es posible identificar
tres etapas:
\begin{enumerate}
\item {\textbf{Propulsi\'on con agua:}} El cohete contiene agua y aire a una 
presi\'on inicial y por ello el peso del sistema es significativo. Al disparar el cohete, este expulsa el
 agua a trav\'es de la boquilla de la botella, con una velocidad que depende
de la presi\'on del aire. El agua expulsada proporciona un empuje
de propulsi\'on que aumenta el impulso del cohete asociado a una disminuci\'on en su masa. La
presi\'on del aire va disminuyendo, reduciendo  la velocidad de salida del
agua y el empuje de propulsi\'on. En contraste, la velocidad 
y la fuerza de arrastre se incrementan. La propulsi\'on del
agua dura hasta que todo el volumen de agua ha sido expulsado de la botella. 
\item {\textbf{Propulsi\'on con aire:}} El aire que permanece dentro del cohete
al final de la etapa anterior se encuentra aun presurizado, lo que provoca un empuje adicional en el cohete al ser expulsado. Este efecto generalmente no es considerado en un sencillo an\'alisis
te\'orico, sin embargo, el incremento en el momento lineal del cohete puede
ser significativo dependiendo de la magnitud de la presi\'on del aire
restante,  debido a que el peso  del cohete en este punto es
peque\~no. 
\item {\textbf{Vuelo libre:}} Al final de la etapa de propulsi\'on con aire,
el cohete est\'a vac\'io (o, de hecho, lleno de aire a presi\'on atmosf\'erica)
y realiza un vuelo completamente bal\'istico.
\end{enumerate}
En este trabajo, se analiza el vuelo del cohete en la primera etapa de
propulsi\'on con agua.




\section{Modelo f\'isico}

\noindent 
El cohete hidr\'aulico
est\'a constituido por una botella de pl\'astico PET, parcialmente llena de
agua y aire a presi\'on. 
La botella se encuentra invertida, es decir, con la
boca hacia abajo en una plataforma de lanzamiento. Al ingresar el aire a presi\'on y accionar el sistema de lanzamiento,  el agua es expulsada de la botella a una
alta velocidad. Como reacci\'on, la botella se eleva. 
	
Este dispositivo  es un ejemplo por excelencia de un sistema de masa variable, el
cual ha sido estudiado en la gran mayor\'ia de libros de texto de f\'isica
a nivel universitario [17-20].
	
La din\'amica de un cohete de agua puede ser investigada analizando
las fuerzas que lo afectan, que incluyen las debidas a la resistencia
aerodin\'amica (\textit{drag}), la fuerza de atracci\'on gravitacional (peso) y el empuje debido al agua expulsada, las cuales se aprecian en la Fig. 1.

	
Considerando
la segunda ley de Newton en su forma m\'as general:
\begin{equation}
F=\frac{dp}{dt},
\end{equation}

\begin{center}
\includegraphics*[55mm,100.41mm]{fig01.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 1.} Fuerzas que act\'uan sobre el cohete hidr\'aulico. Figura adaptada de Finney [37].}
% ********************

\vspace{10pt}

\noindent 


\noindent 
la raz\'on de cambio de la cantidad de momento del cohete respecto al tiempo  esta dada
por:
\begin{equation}
\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}\left({m}_{c}v+\int{\rho\left({u}+v\right)dV}\right),
		\label{e2}
\end{equation}
donde ${m}_{c}$ es la masa del cohete (botella, alas y punta aerodin\'amica), $\rho$ es la densidad del fluido expulsado por el cohete (agua + aire), el cual var\'ia con el tiempo,  $dV$ es el diferencial de volumen,  $\left({u}+v\right )$ es la velocidad del fluido respecto al suelo, ${u}$ es la velocidad del fluido relativo a la botella y  $v$ es la velocidad del cohete para un instante de tiempo $t$. Considerando todas las interacciones sobre el cohete se tiene:
\begin{align}
 & \underbrace{\frac{d}{dt}\left({m}_{c}v+\int{\rho\left({u}+v\right)dV}\right)}_{\substack{\text{raz\'on \ de\ cambio}\\\text{en\  el\ momentum\ del\  cohete}}}
 \notag\\ & \hspace{10pt}
 =\underbrace{\left({P}_{\textrm{exp}}-{P}_{\textrm{atm}}\right){A}_{\exp}+{F}_{\textrm{drag}}-{m}_{\textrm{tot}}g}_{\textrm{fuerzas\ externas}} 
  \notag\\ & \hspace{20pt}
  + \underbrace{ \dot{m}\left({u}_{\exp}+v\right)}_{\substack{\text{raz\'on \ de\ cambio}\\\text{en\  el\ momentum}\\\text{del\ fluido}}},
	\end{align}	
donde $\left({P}_{\textrm{exp}}-{P}_{\textrm{atm}}\right)$ es la diferencia
de presi\'on entre el fluido expulsado y la presi\'on atmosf\'erica, ${A}_{\exp}$ es el \'area del orificio por donde se expulsa el fluido en el cohete, ${F}_{\textrm{drag}}$ es la resistencia 
aerodin\'amica o  {drag},
$${m}_{\textrm{tot}}= m_c + \int{\rho dV}$$ 
es la masa total del cohete (botella + alas + punta + agua + aire) para cualquier instante de tiempo $t$, $g$ es la aceleraci\'on de la gravedad, $\dot{m}\left({u}_{\exp}+v\right)$
es la cantidad de momento del fluido expulsado, ${u}_{\exp}$ es la velocidad con la cual el fluido es expulsado por la boca de la botella y $\dot{m} = {d{m}_{\textrm{tot}}}/{dt}$ es la raz\'on de cambio
de la masa del cohete respecto al tiempo. 
La soluci\'on de esta ecuaci\'on queda determinada por la relaci\'on funcional
que describe el {drag} $({{F}_{{\textrm{drag}}}})$,  el cambio de masa $\dot{m}$ en funci\'on de la densidad del fluido dentro del cohete debido a los cambios de presi\'on. La soluci\'on a este problema ha sido ampliamente abordado en la literatura,empleando diferentes m\'etodos de an\'alisis [1-4,13,14,21-29,37-43].
	
	
	
	
	
	
\section{Experimento}

\noindent 
Para este experimento, se construyeron un total de 4 cohetes,
empleando botellas de refresco  con una capacidad de 2 litros. Se utiliza
el mismo tipo de botellas para su fabricaci\'on, de superficie liza,  con el f\'in de minimizar la rotaci\'on de los cohetes debido al efecto Magnus con
el aire [1,2]. Las alas se  ubicaron en la parte inferior del cohete (como se observa en la Fig. 2), con dimensiones que est\'an en el rango de 70 mm a 100 mm de altura y 40 mm a  64 mm de ancho [6], esto con el objeto
de que el cohete pueda alcanzar una alta velocidad y gran estabilidad en su vuelo [3].




	
La plataforma de lanzamiento se construy\'o empleando el principio
de sujeci\'on de cables (Clark cable-tie launcher) desarrollada por
Ian Clark [44],
el cual ha sido ampliamente 
utilizado por la comunidad que realiza lanzamientos de cohetes
hidr\'aulicos. En la Fig. 2 se presenta la plataforma de lanzamiento empleada en este experimento.
Todos los videos del despegue de los cohetes
se grabaron con una c\'amara fotogr\'afica Nikon 1 J1, a una velocidad de 400 fps y una distancia
de separaci\'on de 50 cm de la plataforma de lanzamiento. En



\vspace{10pt}

\begin{center}
\includegraphics*[62mm,78.22mm]{fig02.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 2.} Cohete y plataforma de lanzamiento por sujeci\'on de cables (Clark cable-tie
			launcher) empleada en el experimento.}
% ********************

\noindent 
 las Figs.
3-6 se presentan distintos instantes del vuelo de cada uno de los
cohetes en condiciones de presi\'on de  lanzamiento  de 50 psi y 80 psi, las cuales 
fueron medidas con el peque\~no man\'ometro incorporado en la bomba de aire.

\vspace{5pt}

\begin{center}
\includegraphics*[80mm,41.96mm]{fig03.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 3.} Etapa de propulsi\'on para el cohete 1, con una presi\'on de lanzamiento
			de 80 psi.}
% ********************

\vspace{5pt}

\begin{center}
\includegraphics*[80mm,33.4mm]{fig04.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 4.} Etapa de propulsi\'on para el cohete 2, con una presi\'on de lanzamiento
			de 80 psi.}
% ********************

\vspace{5pt}

\begin{center}
\includegraphics*[80mm,43.38mm]{fig05.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 5.} Etapa de propulsi\'on para el cohete 3, con una presi\'on de lanzamiento
			de 50 psi.}
% ********************

\vspace{5pt}


\begin{center}
\includegraphics*[80mm,44.13mm]{fig06.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 6.} Etapa de propulsi\'on para el cohete 4, con una presi\'on de lanzamiento
			de 50 psi.}
% ********************



\begin{center}
\includegraphics*[75mm,57.03mm]{fig07.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 7.} Entorno de trabajo del software \textit{Tracker}.}
% ********************

\vspace{10pt}

\noindent 








El movimiento de cada cohete se determina al analizar cada video de
su despegue, usando el programa `\textit{Tracker}'', tal como se aprecia en la Fig. 7.  Los videos fueron grabados empleando un tripode, con el fin de garantizar que en el an\'alisis del video no aparezcan errores sistem\'aticos debido a los posibles cambios  de
posici\'on de la c\'amara. Con el fin de identificar con mayor claridad la posici\'on del
cohete durante su vuelo, se agrega sobre su superficie  un rect\'angulo de un color que resalte y  permitan ubicarlo en cualquier instante de tiempo.
La posici\'on del cohete ser\'a la posici\'on del punto medio de este rect\'angulo.



Es necesario realizar una calibraci\'on que permita al programa asociar la escala en p\'ixels a una escala en metros, para ello
se ubicaron dos rect\'angulos con una separaci\'on entre sus centros de
1 m en la pared opuesta al lugar de lanzamiento. \textit{Tracker} permite obtener a partir del video las coordenadas en el plano
$xy$ de la posici\'on del cohete para cada instante de tiempo. 
Con estos datos se realiza un ajuste polinomial de cuarto grado por el m\'etodo de  m\'inimos cuadrados. A partir de  la ecuaci\'on
de posici\'on, se obtiene por derivaci\'on las ecuaciones de velocidad
y aceleraci\'on del cohete en cada coordenada. Debido a que no es de nuestro inter\'es realizar una descripci\'on precisa y completamente detallada de este sistema, se dejar\'a de lado el tratamiento de las incertidumbres en este experimento.


\section{Resultados} 

\noindent
El lanzamiento completamente vertical de un cohete hidr\'aulico ofrece una gran dificultad t\'ecnica. La velocidad del viento, las variaciones de temperatura del medio ambiente, el movimiento de la plataforma de lanzamiento, la fuerza de Coriosis~[45] entre otros factores, no son considerados en la mayor\'ia de  los modelos f\'isicos convencionales que describen el movimiento de los cohetes hidr\'aulicos. En contraste, los datos experimentales obtenidos
en este trabajo incluyen de forma impl\'icita estos efectos.


Algunos autores han propuesto que estos efectos se pueden describir al
ajustar\hspace{1pt} los\hspace{1pt} resultados\hspace{1pt} experimentales\hspace{1pt} a\hspace{1pt} 
funciones logar\'itmicas [41], polinomios de sexto grado [4], cuarto grado [37] y tercer grado [43] considerando \'unicamente el efecto del {drag} sobre el cohete. Al tener un conjunto de $n$
parejas de datos, estos pueden ser ajustados hasta un polinomio de
grado $n$, con un factor de correlaci\'on igual a 1. 
Aunque matem\'aticamente, este procedimiento puede ser correcto, f\'isicamente deja de ser \'util,
ya que la oscilaci\'on del polinomio es tal que su predictibilidad est\'a
limitada exclusivamente a los puntos ajustados. Las soluciones num\'ericas
a este problema sugieren que el mejor ajuste para un sistema como el
cohete hidr\'aulico es un polinomio de cuarto orden [37]. 
Debido a que la trayectoria de los cohetes no es completamente vertical,
separamos en cada eje el comportamiento horizontal y vertical del
cohete en funci\'on del tiempo, con ayuda de \textit{Tracker}.







En las Figs. 8 y 9  se presentan los resultados de posici\'on en los ejes $x$
y $y$ para los cuatro cohetes hidr\'aulicos, con su respectivo ajuste
por el m\'etodo de m\'inimos cuadrados a un polinomio de cuarto grado. Este m\'etodo permite construir un modelo matem\'atico
que describe el comportamiento del cohete para su primera etapa de
despegue. A partir de las ecua-





\vspace{15pt}

\begin{center}
\includegraphics*[75mm,59.13mm]{fig08.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 8.} Posici\'on vertical ``$y$'' - tiempo, para el despegue
			de los cuatro cohetes  hidr\'aulicos a presiones de 50 psi y 80 psi.}
% ********************

\vspace{10pt}


\begin{center}
\includegraphics*[75mm,58.65mm]{fig09.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 9.} Posici\'on horizontal ``$x$'' - tiempo, para el despegue de los cuatro cohetes 
hidr\'aulicos a presiones de 50 psi y 80 psi.}
% ********************



 
\tabletopline\vspace{2pt}\lilahf{\sc Tabla I.\ {\rm Ecuaciones de movimiento  
en $x$ y $y$ para el cohete 1 a una presi\'on de 80 psi y con un n\'umero de datos n = 88.}}
\begin{center}
\small{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\renewcommand{\tabcolsep}{0.7pc}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\textbf{Cohete 1 a 80 psi}  \\ \hline
			\hline
			\textbf{Movimiento Vertical}  \\ \hline
			$y = -1157.8t^4 + 333.67t^3 + 104.21t^2 + 3.2262t + 0.0092 $    \\ 
			$v_{\textrm{ins}} = -4631.2t^3 + 1001.01t^2 + 208.42t + 3.2262  $    \\  
			$a_{\textrm{ins}} = -13893.6t^2 + 2002.02t + 208.42$    \\\hline  
			\textbf{Movimiento  Horizontal}  \\ \hline
			$x = -442.06t^4 + 121.4t^3 + 4.983t^2 + 0.4694t - 0.0009 $    \\  
			$v_{\textrm{ins}} = -1768.24t^3 + 364.2t^2 + 9.966t + 3.2262$    \\  
			$a_{\textrm{ins}} = -5304.72t^2 + 728.3t + 9.966$    \\  
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
\vspace{5pt}

\tabletopline\vspace{2pt}\lilahf{\sc Tabla II.\ {\rm Ecuaciones de movimiento  en $x$ y $y$ para el cohete 2 a una presi\'on de 80 psi y con un n\'umero de datos n = 54.}}
\begin{center}
\small{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\renewcommand{\tabcolsep}{0.7pc}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\textbf{Cohete 2 a 80 psi}  \\ \hline
			\hline
			\textbf{Movimiento Vertical}  \\ \hline
			$y = -2796.2t^4 + 960.72t^3 + 42.905t^2 + 3.5927t + 0.0009
			$    \\
			$v_{\textrm{ins}} = -11184.8t^3 + 2882.16t^2 + 85.81t + 3.5927 $    \\
			$a_{\textrm{ins}} = -33554.4t^2 + 5764.32t + 85.81$    \\ \hline
			\textbf{Movimiento  Horizontal}  \\ \hline
			$x = -225.9t^4 + 172.57t^3 - 24.668t^2 + 1.732t - 0.0043 $    \\
			$v_{\textrm{ins}} = -903.6t^3 + 517.71t^2 - 49.336t + 1.732 $    \\ 
			$a_{\textrm{ins}} = -2710.8t^2 + 1035.42t - 49.336 $    \\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
\vspace{5pt}

\tabletopline\vspace{2pt}\lilahf{\sc Tabla III.\ {\rm Ecuaciones de movimiento  en $x$ y $y$ para el cohete 3 a una presi\'on de 50 psi y con un n\'umero de datos n = 61.}}
\begin{center}
\small{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\renewcommand{\tabcolsep}{0.7pc}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\textbf{Cohete 3 a 50 psi}  \\ \hline
			\hline
			\textbf{Movimiento Vertical}  \\ \hline
			$y = -903.93t^4 + 623.93t^3 - 23.305t^2 + 3.2389t - 0.0041 $    \\ 
			$v_{\textrm{ins}} = -3615.72t^3 + 1871.79t^2 + 46.61t+ 3.2389 $    \\ 
			$a_{\textrm{ins}} = -10847.16t^2 + 3743.58t + 46.61 $    \\ \hline
			\textbf{Movimiento  Horizontal}  \\ \hline
			$x = -266.24t^4 + 77.069t^3 - 0.226t^2 + 0.4739t - 0.0047 $    \\ 
			$v_{\textrm{ins}} = -1064.96t^3 + 231.207t^2 + 0.452t + 0.4739$    \\ 
			$a_{\textrm{ins}} = -3194.88t^2 + 462.414t + 0.452 $    \\ 
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
\vspace{15pt}


\noindent ciones de posici\'on en funci\'on del tiempo, se obtiene
por derivaci\'on las ecuaciones de velocidad y aceleraci\'on para cada cohete
en la direcci\'on $x$ y $y$, las cuales se presentan en las Tablas I-IV.

La  velocidad promedio de cada uno de los cohetes se determina empleando el m\'etodo de Euler [46] as\'i:
\begin{equation}
v_{\textrm{promedio}}=\frac{x_{i}-x_{i-1}}{t_{i}-t_{i-1}}, 
\end{equation}
donde $i = 2,3,...,n$, siendo $n$ el n\'umero total de datos de posici\'on obtenidos para cada cohete a partir del analisis de los videos realizados con tracker.

\tabletopline\vspace{2pt}\lilahf{\sc Tabla IV.\ {\rm Ecuaciones de movimiento  en $x$ y $y$ para el cohete 4 a una presi\'on de 50 psi y con un n\'umero de datos n = 88.}}
\begin{center}
\small{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\renewcommand{\tabcolsep}{0.7pc}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\textbf{Cohete 4 a 50 psi}  \\ \hline
			\textbf{Movimiento Vertical}  \\ \hline
			$y = -562.65t^4 + 443.09t^3 - 26.066t^2 + 3.0214t - 0.0106 $    \\ 
			$v_{\textrm{ins}} = -2250.6t^3 + 1329.27t^2 - 52.132t + 3.0214 $    \\ 
			$a_{\textrm{ins}} = -6751.8t^2 + 2658.54t - 52.132 $    \\ \hline
			\textbf{Movimiento  Horizontal}  \\ \hline
			$x = 277.25t^4 - 2.281t^3 - 2.456t^2 + 0.03t + 0.0005$    \\
			$v_{\textrm{ins}} = 1109t^3 - 6.843t^2 - 4.912t + 0.03$    \\ 
			$a_{\textrm{ins}} = 3327t^2 - 13.686t - 4.912 $    \\ 
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\vspace{10pt}









La velocidad instant\'anea y velocidad promedio para cada cohete respecto a los ejes $x$  y $y$ se observan en las  Figs.  10 y 11. De forma similar, la aceleraci\'on promedio  se calcula como:
\begin{equation}
a_{\textrm{promedio}}=\frac{v_{j}-v_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}},
\end{equation}
con $j = 2,3,...,m$, siendo  $m = n-1$ el n\'umero total de datos de velocidad obtenidos para el vuelo de cada cohete.

 En las Figs.  12-15 se presenta el comportamiento de la aceleraci\'on promedio y la aceleraci\'on instant\'anea para cada cohete en los ejes $x$ y $y$.
 
 Las Figs. 10 y 11 muestran que la velocidad incrementa
 a medida que el cohete expulsa todo su combustible l\'iquido (agua). La aceleraci\'on
 instant\'anea obtenida por derivaci\'on del polinomio de ajuste, predice que el cohete acelera de forma
 continua y progresiva, mientras que la aceleraci\'on promedio obtenida
 por el m\'etodo de Euler describe un comportamiento oscilatorio de la
 aceleraci\'on. 
 
 El flujo de agua expulsado por el cohete se realiza de
forma continua, por lo cual la aceleraci\'on promedio obtenida por el este
m\'etodo no\hspace{1pt} describe\hspace{1pt} la\hspace{1pt} realidad\hspace{1pt} del\hspace{1pt} sistema\hspace{1pt} f\'isico 


\vspace{10pt}

\begin{center}
\includegraphics*[75mm,62.03mm]{fig10.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 10.} Velocidad promedio e  instant\'anea vertical ``$y$''
			- tiempo, para el despegue
			de los cuatro cohetes  hidr\'aulicos a presiones de 80 psi y 50 psi.}
% ********************

\begin{center}
\includegraphics*[75mm,62.27mm]{fig11.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 11.} Velocidad promedio e instant\'anea horizontal ``$x$''
			- tiempo, para el despegue
			de los cuatro cohetes  hidr\'aulicos a presiones de 80 psi y 50 psi.}
% ********************

\vspace{5pt}



\begin{center}
\includegraphics*[75mm,64.5mm]{fig12.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 12.} Aceleraci\'on promedio vertical ``$y$'' - tiempo, para el despegue
			de los cuatro cohetes  hidr\'aulicos a presiones de 80 psi y 50 psi.}
% ********************

\vspace{5pt}



\begin{center}
\includegraphics*[75mm,64.13mm]{fig13.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 13.} Aceleraci\'on promedio horizontal ``$x$'' - tiempo, para el despegue
			de los cuatro cohetes  hidr\'aulicos a presiones de 80 psi y 50 psi.}
% ********************


\begin{center}
\includegraphics*[75mm,61.97mm]{fig14.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 14.} Aceleraci\'on instant\'anea vertical ``$y$'' - tiempo, para el despegue
			de los cuatro cohetes  hidr\'aulicos a presiones de 80 psi y 50 psi.}
% ********************

\vspace{5pt}


\begin{center}
\includegraphics*[75mm,61.55mm]{fig15.jpg}
\end {center}

\lilahf{{\sc Figura 15.} Aceleraci\'on instant\'anea horizontal ``$x$'' - tiempo, para el despegue
			de los cuatro cohetes  hidr\'aulicos a presiones de 80 psi y 50 psi.}
% ********************

\vspace{10pt}

\noindent 
en un 
largo intervalo de tiempo, sin embargo, este m\'etodo nos permite estudiar la aceleraci\'on promedio inicial en los primeros 2.5 ms para cada uno de los cohetes, las cuales est\'an en el intervalo de 37.84
a 114.01 veces la aceleraci\'on de la gravedad $(g)$, de modo que los cohetes puedan alcanzar una velocidad de 0 m/s a 3 m/s en esta fracci\'on de tiempo. El efecto de la fricci\'on con el aire queda
latente instantes despues al producir una reducci\'on en la aceleraci\'on
en el cohete. Estos resultados son consistentes con los reportados en la literatura [29,37].
Debido a que el vuelo de los cohetes no es completamente vertical, es necesario realizar una
descripci\'on respecto a cada eje coordenado. En este experimento solo
es posible describir el movimiento de los cohetes en los ejes $x$   y $y$ pero
es de esperar que el sistema tambien posea un movimiento en el eje
$z$. Para nuestro estudio se ha restringido el vuelo de los cohetes en un solo plano, perpendicular a la c\'amara con la cual se grab\'o su movimiento. El \'unico art\'iculo previo, que



\end{multicols}

\begin{center}
\includegraphics*[145mm,91.43mm]{fig16.jpg}
\end {center}

\lilahrge{{\sc Figure 16.} Posici\'on vertical $y$ vs  tiempo, para el lanzamiento de cohetes hidr\'aulicos. En la figura de la izquierda se presentan los resultados reportados en este trabajo. En la figura del lado derecho se presenta los resultados reportados por Kagan [29].}
% ********************

\vspace{10pt}

\begin{multicols}{2}

\noindent 
realiza un estudio experimental de cohetes
de agua empleando una metodolog\'ia similar es el reportado por Kagan y colaboradores [29]. Sin embargo, los cohetes de este trabajo no poseen masa de contrapeso ni alas.



En la Fig. 16 del lado izquierdo se presentan los resultados obtenidos en este trabajo, para cohetes con alas, contrapeso, punta aerodin\'amica, de masa total sin liquido igual a 0.0823 kg, lanzados a presiones de 50 psi y 80 psi, con 0.7 litros de agua. La figura de la derecha presenta los resultados reportados por Kagan [29], para cohetes sin alas, sin contrapeso, de masa total sin liquido igual a 0.0484 kg y lanzados presiones de  50 psi y 100 psi, con 0.7 litros de agua. La discrepancia que se observa entre estos resultados radica  en las distintas condiciones de lanzamiento y configuraci\'on de los cohetes. En el trabajo de Kagan, los cohetes son botellas de PET que no poseen masa de contrapeso, alas, ni punta aerodin\'amica, sus lanzamiento se realizaron de forma  completamente vertical y con una cantidad de 0.7 litros de agua. En contraste,  los cohetes empleado en nuestro experimento usan  0.7 litros de agua como combustible, si poseen un contrapeso que duplica
	la masa de una botella de PET vac\'ia, tienen alas y punta aerodin\'amica, lo cual aumentan los efectos de la fricci\'on, adem\'as, el hecho de que los lanzamientos no son completamente verticales no permiten al cohete lograr las mismas alturas para los mismos intervalos de tiempo. 
	

	
\section{Conclusiones}


\noindent 
El uso de una c\'amara fotogr\'afica digital que graba video a 400 fps, permite obtener un m\'aximo de 400 datos de posici\'on por cada segundo de grabaci\'on. En este trabajo fue posible determinar la posici\'on en funci\'on del tiempo para el vuelo de cuatro cohetes hidr\'aulicos. A partir de estos datos, se determinan sus velocidades y aceleraci\'ones. En los cuatros experimentos, el n\'umero de datos m\'inimo y m\'aximo obtenidos est\'a en el rango de 54 a 88 puntos de posici\'on y abarca una descripci\'on que permite investigar el comportamiento f\'isico
de los cohetes hidr\'aulicos en su primera etapa de propulsi\'on. Un n\'umero de datos de posici\'on como los obtenidos en este experimento garantiza una reducci\'on en los errores  adherentes al experimento y que sus efectos sean m\'inimos en la descrici\'on f\'isica de estos sistemas. Se utiliz\'o el m\'etodo de m\'inimos cuadrados a un ajuste de un polinomio de cuarto grado y el m\'etodo de Euler para determinar las velocidades y aceleraciones de cuatro cohetes hidr\'aulicos.

La velocidad y aceleraci\'on instant\'aneas se obtienen a partir de la derivaci\'on
del polinomio de ajuste para cada cohete. Las velocidades y aceleraci\'ones promedio de obtiene a trav\'es del m\'etodo de Euler.  Los valores de las aceleraciones promedio obtenidas por el  m\'etodo de Euler son fluctuantes, lo cual se debe a  los
errores inherentes al m\'etodo mismo, ya que estas cantidades se obtienen de los valores de la velocidad promedio, lss cuales tambien fueron obtenidas por este m\'etodo. En las Figs. 12 y 13 se observan estas fluctuaciones  de aceleraci\'on. F\'isicamente, se espera que un cohete hidr\'aulico posea aceleraci\'on, pero no fluctuante ni oscilatoria, por lo cual las Figs. 12 y 13 ofrecen un estimativo de la aceleraci\'on para ciertos intervalos de tiempo, pero con un alto grado de error. Un resultado relevante es el hecho que los cohetes al despegar presentan una alta aceleraci\'on promedio inicial, la cual est\'a en el intervalo de  37.84 $g$ a 114.01 $g$, lo cual es consistente con lo reportado en la literatura.

Considerar dentro del aula de clase  experimentos en
los cuales los sistemas presentan masa variable, ofrecen una reto
educativo en la ense\~nanza de la f\'isica. En la gran mayor\'ia de los
libros de texto, este problema se aborda desde una perspectiva
simplificada, reduciendo su descripci\'on a un sistema
con movimiento uniformemente acelerado, lo cual conceptualmente es
incorrecto.

Al ser el cohete hidr\'aulico un sistema de masa variable, los efectos en la
descripci\'on de su movimiento pueden ser perfectamente modelados a trav\'es de un polinomio
de cuarto orden, en el cual se integran de forma impl\'icita muchas
caracter\'isticas din\'amica del sistema, que no son consideradas en los
modelos reduccionista propuestos en los libros de texto introductorios de f\'isica.

A trav\'es del estudio de este sistema, con ayuda de  tecnolog\'ias como la c\'amara fotogr\'afica y videos a slow motion,
el estudiante rompe un paradigma en el cual se le presentan experimentalmente
unicamente sistemas con velocidades o aceleraciones constantes, pero
nunca sistemas en los cuales la masa y la aceleraci\'on son variables.
Con el uso de herramientas estad\'isticas como el m\'etodo de m\'inimos
cuadrados, es posible construir un modelo f\'isico a partir de
datos experimentales para este tipo de sistemas.

Un implementaci\'on experimental que dejamos como propuesta al lector, es sincronizar
dos c\'amaras de video que permitan grabar el lanzamiento del cohete
en dos planos perpendiculares, con lo cual se tendr\'ia informaci\'on en los
tres ejes espaciales y una completa descripci\'on tridimensional del movimiento del cohete hidr\'aulico.


\section*{Agradecimientos}

\noindent 
A la preparatoria Vasco de Quiroga - Alvaro Obreg\'on II, del Instituto de Educaci\'on Media Superior de la Ciudad de M\'exico,  por las facilidades otorgadas a H.E. Caicedo-Ortiz para la fabricaci\'on y lanzamiento de los cohetes hidr\'aulicos, as\'i como al revisor an\'onimo por la lectura cr\'itica y sus comentarios constructivos que permitieron mejorar el presente art\'iculo.



\end{multicols}
\medline
\begin{multicols}{2}
\begin{thebibliography}{99}
%\bibitem{c1}



\bibitem{c1}M. Mulsow, \textit{Modelling and optimisation of multi-stage
water rockets, Bachelor Thesis, Tech. Rep.}
(Ernst-moritz-arndt-universit\"at greifswald, 2011).

%2 
\bibitem{c1}J. Carman and J. Uselton, \textit{Journal of Spacecraft and
Rockets} \textit{8} (1971) 28.

%3 
\bibitem{c1}M. De Podesta, \textit{A guide to building and understanding the
physics of. Water Rockets, National Physics Laboratory},
1st ed. (2007).

%4 
\bibitem{c1}G. Ashline, A. Brizard, Ellis-Monaghan, and Joanna,
\textit{UMAP/ILAP Modules 2002-2003: Tools for Teaching} \textit{23} (2003) 151.

%5 
\bibitem{c1}J. F. Rodr\'iguez Rey and H. E. Caicedo Ortiz,
Constructable de un cohete hidr\'aulico, (2015),
monograf\'ia de problema Eje.



%6 
\bibitem{c1}N. Ishi, \textit{Organismo de exploraci\'on Aeroespacial del Jap\'on}
(2011).

%7 
\bibitem{c1}P. Jarvis, \textit{Soda-Pop Rockets: 20 Sensational Rockets to
Make from Plastic Bottles} (Chicago Review Press - Ivy
Press, 2010).

%8 
\bibitem{c1}A. Bernal Gonz\'alez, \textit{Cohetes de agua ciencia, t\'ecnica y
diversi\'on} (Antares producci\'on \& distribuci\'on S.L., 2009).

%9 
\bibitem{c1}J. Souza, \textit{A F\'isica na Escola} \textbf{8} (2007) 4.

%10 
\bibitem{c1}H. Gallego-Gutierrez and H. Caicedo-Ortiz, \textit{Journal de
Ciencia e Ingenieria} \textbf{4} (2012) 31.

%11 
\bibitem{c1}B. Bottin and G. Georges, in 46th \textit{AIAA Aerospace
Sciences Meeting and Exhibit} (2008) p. 491.

%12 
\bibitem{c1}S. Jayaram, L. Boyer, J. George, K. Ravindra, and
K. Mitchell, \textit{Acta Astronautica} \textbf{66} (2010) 1525.

%13 
\bibitem{c1}G. Ashline and J. Ellis-Monaghan, \textit{Problems, Resources,
and Issues in Mathematics Undergraduate Studies} \textbf{16}
(2006) 121.

%14 
\bibitem{c1}R. B. Perotti, E. B. Marigorta, J. M. de la Calle, and
M. G. Vega, \textit{Revista de Educaci\'on a Distancia} (2015).



%15 
\bibitem{c1}N. Tomita, R. Watanabe, and A. V. Nebylov, \textit{Acta
Astronautica} \textbf{61} (2007) 1116.

%16 
\bibitem{c1}A. Guerra, F. Rodriguez-Mesa, F. A. Gonz\'alez, and M. C.
Ram\'irez, \textit{Aprendizaje basado en problemas y educaci\'on en
ingenier\'ia} (Aalborg Universitetsforlag., 2017).
10

%17 
\bibitem{c1}D. Kleppner and R. Kolenkow, \textit{An introduction to
mechanics} (Cambridge University Press, 2013).

%18 
\bibitem{c1}M. Alonso and E. J. Finn, \textit{Fondo educativo interamericano}
(2000).

%19 
\bibitem{c1}R. Resnick, D. Halliday, and K. Krane, \textit{Compa~n\'ia}
Editorial Continental  (2004) 1.

%20 
\bibitem{c1}R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, \textit{The
Feynman lectures on physics} \textbf{Vol. 1} (Addison-Wesley,
1963).

%21 
\bibitem{c1}H. Rodrigues, M. Pinho, D. Portes Jr, and A. Santiago,
\textit{International Journal of Mathematical Education in
Science and Technology} \textbf{40} (2009) 523.

%22 
\bibitem{c1}C. J. Gommes, \textit{American Journal of Physics} \textbf{78}
(2010) 236.

%23 
\bibitem{c1}M. E. Gavil\'an, 
\textit{Revista Colombiana de F\'isica} 38
(2006) 421.

%24 
\bibitem{c1}G. E. Thorncroft, J. R. Ridgely, and C. C.
Pascual, \textit{International Journal of Mechanical Engineering
Education} \textbf{37} (2009) 241.

%25 
\bibitem{c1}J. M. Prusa, \textit{SIAM review} \textbf{42} (2000) 719.

%26 
\bibitem{c1}R. Apaza V\'asquez, \textit{Revista Boliviana de F\'isica} \textbf{12}
(2006) 126.

%27 
\bibitem{c1}R. Barrio-Perotti, E. Blanco-Marigorta,
J. Fern\'andez-Francos, and M. Galdo-Vega, \textit{European
Journal of Physics} \textbf{31} (2010) 1131.

%28 
\bibitem{c1}M. Abate \textit{et al.}, \textit{Correlation between simulated, calculated,
and measured model rocket flight}.

%29 
\bibitem{c1}D. Kagan, L. Buchholtz, and L. Klein, \textit{The Physics
Teacher} \textbf{33} (1995) 150.

%30 
\bibitem{c1}D. Brown, \textit{Tracker video analysis and modeling tool},
(2017).
\pagebreak

%31 
\bibitem{c1}R. Allain, \textit{Physics and Video Analysis} (Morgan \& amp;
Claypool Publishers, 2016).

%32 
\bibitem{c1}D. Brown and A. J. Cox, \textit{The Physics Teacher} \textbf{47}
(2009) 145.

%33 
\bibitem{c1}E. Silva, \textit{Revista Brasileira de Ensino de F\'isica} 40.



%34 
\bibitem{c1}C. Sirisathitkul, P. Glawtanong, T. Eadkong, and
Y. Sirisathitkul, \textit{Revista Brasileira de Ensino de F\'isica }
\textbf{35} (2013) 1.

%35 
\bibitem{c1}W. Bonventi Jr and N. Aranha, \textit{Caderno Brasileiro de
Ensino de F\'isica} \textbf{37} (2015).

%36 
\bibitem{c1}J. A. King, \textit{Nikon 1 J1/V1 For Dummies} (John Wiley
\& amp; Sons, 2012).

%37 
\bibitem{c1}G. Finney, \textit{American Journal of Physics} \textbf{68} (2000) 223.

%38 
\bibitem{c1}H. Rodrigues, M. O. Pinho, D. Portes Jr, and A. J.
Santiago, \textit{European Journal of Physics} \textbf{29} (2008) 527.

%39 
\bibitem{c1}R. H. Gowdy, \textit{American Journal of Physics} \textbf{63} (1995) 229.

%40 
\bibitem{c1}J. R. Claycomb, C. Zachary, and Q. Tran, \textit{The Physics
Teacher} \textbf{47} (2009) 88.

%41 
\bibitem{c1}A. Kraff, G. V\'azquez, R. Mijangos, and
J. Heredia-Cancino, \textit{Rev. mex. fis. E}
\textbf{61} (2015) 6.

%42 
\bibitem{c1}A. Romanelli, I. Bove, and F. Gonz\'alez Madina, \textit{American
Journal of Physics} \textbf{81} (2013) 762.

%43 
\bibitem{c1}H. G. Riveros, \textit{Lat. Am. J. Phys. Educ.} \textbf{10} (2016) 4325.

%44 
\bibitem{c1}G. Katz, \textit{Clark cable-tie launcher}.

%45 
\bibitem{c1}F. R. Gantmakher and L. M. Levin, \textit{The Flight of
Uncontrolled Rockets: International Series of Monographs
on Aeronautics and Astronautics}, \textbf{Vol. 5} (Elsevier, 2014).

%46 
\bibitem{c1}P. A. Tipler and G. Mosca, \textit{F\'isica para la
tecnolog\'ia} \textbf{vol. 1}, (Revert\'e, 2007) p. 129.



\end{thebibliography}
\end{multicols}
\end{document}
%
%Notas:
%
%\tabletopline\vspace{2pt}\lilahf{\sc Table I.\ {\rm Table caption}}
%\begin{center}
%\small{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\renewcommand{\tabcolsep}{1.35pc}
%\begin{tabular}{cccc}
%\hline
%\hline
%\end{tabular}}
%\end{center}
%
