Porqué y cómo exponenciamos matrices hamiltonianas

Abstract

Las trayectorias de puntos masa en la mecánica clásica de osciladores, y de rayos de luz en la óptica geométrica paraxial, se obtienen exponenciando matrices. Las matrices hamiltonianas representan y clasifican mediante equivalencia las dinámicas posibles de los sistemas lineales. En mecánica unidimensional y en guías de onda planas son posibles los sistemas armónico, repulsivo, o el libre; esto es bien conocido y sólo requiere de matrices de $2\times2$ con 3 parámetros independientes. Aquí abordamos el problema de sistemas mecánicos en dos dimensiones, que coincide con el de las guías de onda ópticas en tres dimensiones, donde se requiere de matrices de $4\times4$ con 10 parámetros. Conocida la estructura de los eigenvalores, reducimos la exponencial de una matriz hamiltoniana a una suma de sus cuatro primeras potencias, con coeficientes que calculamos analíticamente, resolvemos la degeneración presente en el plano de eigenvalores, y comentamos sobre los sistemas lineales ondulatorios a los que se aplican estos resultados. Ponemos énfasis en las referencias que han tratado los tópicos contenidos en este trabajo, las cuales se detallan en párrafos separados.